# 二項分布について解説！定義と期待値・分散の計算、正規分布への近似について！ > 当サイト【スタビジ】の本記事では、二項分布について解説していきます！二項分布は代表的な離散的分布の一つです。今回は二項分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素も解説していきます。 - URL: https://toukei-lab.com/binomial - 公開: 2023.03.23 / 更新: 2026.10.28 - サイト: スタビジ（https://toukei-lab.com） :::talk{who="umatan"} 当サイト【スタビジ】の本記事では、二項分布について解説していきます！二項分布は代表的な離散的分布の一つです。今回は二項分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素も解説していきます。 ::: こんにちは！ デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん([@statistics1012](https://twitter.com/statistics1012?lang=ja))です！ 離散的な分布は数多くありますが、その中でも二項分布は非常に重要で基礎的な分布です！ 二項分布は「n回のベルヌーイ試行（後ほど説明）の中で、k回成功する確率を表した分布」を表しています。具体例を出すと、n回コインを投げてk回表が出る確率を表しているとも言えるでしょう！ :::talk{who="umatan"} 簡単そうに見えるけど、離散的な分布を最初に学ぶには重要な分布なんだ！ ::: この記事では、そんな二項分布の定義を解説をしながらもその性質について解説していきます。またPythonで二項分布を確認してみましょう！ :::point **・二項分布の定義について解説！**\ **・二項分布の性質について解説！**\ **・Pythonで二項分布を見てみよう！** ::: 動画で学びたい方は以下のYoutube動画でも解説しているのでこちらも参考にしてみてください！ ::youtube{#DTtNIQGflNw} ## ベルヌーイ試行と二項分布について解説！ ![quiz](/wp-content/uploads/2021/01/Exams-amico-min-e1618234275813-1024x955.png) :::talk{who="robotan" side="left"} そもそもベルヌーイ試行って何？ ::: :::talk{who="umatan" side="right"} ベルヌーイ試行は二項分布の理解につながる重要な要素なんだ！しっかり覚えていこう！ ::: ![ベルヌーイ試行と二項分布](/wp-content/uploads/2023/03/110-1024x576.jpg) ベルヌーイ試行は「コインを投げたときに表か裏しか出ないような、イベントが発生した結果が2通りしかない試行」のことを指します！ :::talk{who="umatan" side="right"} ベルヌーイ試行の式は以下の通りとなるね！pは成功する確率を表し、その時の確率変数Xは1をとるとするよ。コインを1回投げることと一緒だね！ ::: $P(X=1)$ = $p$ $P(X=0)$ = $1-p$ そして二項分布は「ベルヌーイ試行をn回繰り返して、成功する回数Xが従う確率分布」を表しています！ :::talk{who="umatan" side="right"} n回ベルヌーイ試行をして成功する回数がk回である確率は以下の通りに示すことができるよ！コインをn回投げてk回表が出る確率を表しているんだ！ ::: $P(X=k)$ = ${}_n\mathrm{C}_k p^{k} (1-p)^{n-k}$ ## 二項分布の平均・分散について解説！ ![Data Trends](/wp-content/uploads/2020/12/Data-Trends-amico-min-e1615808046774-1024x913.png) 分布の[期待値](/expected-value)と分散について理解することで、データへの理解が深まります！ :::talk{who="umatan" side="right"} 二項分布の期待値と分散は以下の通り！ ::: $$ \begin{aligned} E(X)&=\sum_{k=0}^{n}k\,{}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}\\ &=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ &=np \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} V(X)&=E(X^{2})-E(X)^{2}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k^{2}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}-(np)^{2}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\{k(k-1)+k\}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}-(np)^{2}\\ &=n(n-1)p^{2}\sum_{k=2}^{n}\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np-(np)^{2}\\ &=(np)^{2}-np^{2}+np-(np)^{2}=np(1-p) \end{aligned} $$ :::talk{who="umatan" side="right"} 二項分布の分散は少し工夫する必要があることに注意！ちなみにベルヌーイ試行の期待値と分散は、n回のベルヌーイ試行の1回分と考えると、二項分布の期待値と分散をnで割った値になると考えられる！したがってベルヌーイ試行の期待値は$p$、分散は$p(1-p)$になるんだ！ ::: ## 中心極限定理(正規分布への近似）について解説！ ![Data report](/wp-content/uploads/2020/12/Data-report-amico-min-1024x1024.png) :::talk{who="robotan" side="left"} 二項分布って正規分布へ近似できるの！？ ::: :::talk{who="umatan" side="right"} そう、二項分布は正規分布に近似できる性質を持っているんだ…！ ::: この性質は、中心極限定理に基づいています！ 前提として$X_{1}$…$X_{n}$はそれぞれ独立かつ同一な分布に従っていると仮定します。そしてその分布の平均は$μ$、分散は$\sigma^{2}$とします。 また$X$=$X_{1}$+$X_{2}$+…+$X_{n}$ 中心極限定理とは「サンプルサイズ$n$が大きい時、元の分布が何であっても、その和$X$（や平均）の分布は正規分布で近似できる」性質を言います！あるいは「サンプルサイズ$n$が大きい時、標本平均$\bar{X}$と真の平均$μ$の差は正規分布$N(0,\frac{\sigma^{2}}{n})$に近似できる」定理です！ つまりサンプルサイズが大きい時、二項分布は平均$np$、分散$np(1-p)$の正規分布で近似できるということになります！ また$X_{1}$…$X_{n}$がベルヌーイ試行の場合、$\frac{X}{n}-p$は近似的に正規分布$N(0,\frac{p(1-p)}{n})$に従うことが分かりますので、$X-np$が近似的に正規分布$N(0,np(1-p))$に従うことと同義ですね！ :::talk{who="umatan" side="right"} $n$が非常に大きい時に、非常に役に立つ性質なんだ！ ::: ## 実際に二項分布をPythonで実装！ ![stories pc](/wp-content/uploads/2021/01/All-the-data-bro-e1613475965440-1024x789.png) 実際に二項分布をPythonで実装してみましょう！ 今回はScipy.statsのbinom関数を使って、成功する確率pを0.2に固定し、サンプルサイズ10とサンプルサイズ100の二項分布を実装し、比較してみました！ ```python from scipy.stats import binom import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline #図の設定 fig,ax = plt.subplots(1,2,figsize=(10,5)) #n=10,p=0.2の二項分布 X_1 = np.arange(0,11) f = binom(10,0.2) y = f.pmf(X_1) ax[0].bar(X_1, y) #n=100,p=0.2の二項分布 X_2 = np.arange(0,101) f = binom(100,0.2) y = f.pmf(X_2) ax[1].bar(X_2, y) plt.show() ``` :::talk{who="umatan" side="right"} サンプルサイズが100の場合だと、正規分布に近づいていることが分かるね！サンプルサイズが大きくなると、正規分布に近似する性質が確認できたよ！ ::: ![二項分布　結果](/wp-content/uploads/2023/03/66c19942ab4ba346fdb64ccc04cde373-5.jpg) ## 二項分布　まとめ 本記事では、**二項分布**についてまとめました！ 二項分布について理解できた方は、二項分布と関係がある[ポアソン分布](/poisson)を勉強すると良いでしょう！ 確率分布は様々なものがあり、データや目的によって適切に使うことで初めて効果が表れる非常に優れたツールであると考えられます！確率分布だけでなく、統計学の知識やデータサイエンスの知識を得ることで、今までにない知見を身に付けることができます！ そうしたデータサイエンスの力を身に付けるためにはスタビジの記事やスクールを活用すると良いでしょう。 そして僕の経験を詰め込んだデータサイエンス特化のスクール[「スタアカ（スタビジアカデミー）」](https://toukei-lab.com/achademy/)を運営していますので，興味のある方はぜひチェックしてみてください！ :::talk{who="umatan"} 目指せデータサイエンスマスター！ ::: ### AIデータサイエンス特化スクール「スタアカ」 ![スタアカ（スタビジアカデミー）のトップページ](/wp-content/uploads/2026/10/achademy-top.jpg)
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【オススメ度】
【サポート体制】
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マーケティングの実行プラン策定
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