# ガンマ分布と指数分布について解説！期待値・分散の基本的な性質について！

> 当サイト【スタビジ】の本記事では、ガンマ分布と指数分布について解説していきます！ガンマ分布・指数分布は連続的分布の一つでもある基本的な分布であり、ガンマ分布は指数分布を一般化させた分布です！今回はガンマ分布・指数分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素について解説していきます。

- URL: https://toukei-lab.com/gamma_and_exponential
- 公開: 2023.04.01 / 更新: 2025.01.24
- サイト: スタビジ（https://toukei-lab.com）

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当サイト【スタビジ】の本記事では、ガンマ分布と指数分布について解説していきます！ガンマ分布・指数分布は連続的分布の一つでもある基本的な分布であり、ガンマ分布は指数分布を一般化させた分布です！今回はガンマ分布・指数分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素について解説していきます。
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こんにちは！

デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん([@statistics1012](https://twitter.com/statistics1012?lang=ja))です！

今回はガンマ分布と指数分布について解説していきます。こちらは[正規分布](/gauss)と同様、確率変数が連続型である場合の確率分布です。

<mark>特にガンマ分布はある単位時間に1回起こる事象が実際に数回起きるまでの時間を表しています！</mark>

例えばエイズの潜伏期間、製品の寿命、行列の待ち時間といった日常的に起こる事象に用いられることが多い分布です。

またガンマ分布は指数分布を一般化したものであるため、<mark>ガンマ分布を理解すれば指数分布についての理解も深まります！</mark>

この記事では、そんなガンマ分布・指数分布の定義とその性質について解説していきながらPythonで実装していきます！

:::point
**・ガンマ分布・指数分布の定義について解説！**\
**・ガンマ分布・指数分布の性質について解説！**\
**・Pythonでガンマ分布・指数分布を見てみよう！**
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以下のYoutube動画でも詳しく解説していますのであわせてチェックしてみてください！

::youtube{#fqMghDZY-7k}

## ガンマ分布について解説！

![stories Data-pana](/wp-content/uploads/2021/01/Data-pana-e1615808087658-1024x875.png)

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初めにガンマ分布の解説だね！「

<mark>

ある単位時間に1回起こる事象が実際に数回起きるまでの時間を表している」分布をどう表現すればいいんだろう？

</mark>
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:::talk{who="umatan" side="right"}
その性質を表現するためにガンマ分布には2種類のパラメータが存在するんだ。ここではある単位時間を$β$、起きる回数を$α$とする。つまり

<mark>

ガンマ分布はある単位時間$β$に$α$回起きるまでの期間を確率変数Xが従う確率分布

</mark>

となるんだ！
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![ガンマ分布・指数分布の意味](/wp-content/uploads/2023/03/120-1024x576.jpg)

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これを踏まえて、ガンマ分布の確率密度関数を見ていこう！
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$f(x)$ = $\frac{1}{β^{α}\Gamma{(α)}}$$x^{α-1}e^{-\frac{x}{β}}$ $(x>=0)$

$f(x)$ = 0 $(x<0)$

:::talk{who="robotan" side="left"}
いきなり難しい式が現れたね…。特に分母にある見慣れない関数はどんな関数なの？
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:::talk{who="umatan" side="right"}
それはガンマ関数という非常に重要な関数なんだ！特にαが自然数の場合なら$(α-1)!$が成立するよ！
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$\Gamma{(α)}$ = $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{α-1}e^{-x} dx$

$\Gamma{(α)}$ = $(α-1)!$

## 指数分布について解説！

![Data Trends](/wp-content/uploads/2020/12/Data-Trends-amico-min-e1615808046774-1024x913.png)

:::talk{who="robotan" side="left"}
ガンマ分布は指数分布を一般化した分布らしいけど、指数分布は実際にどんな分布なんだろう？
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:::talk{who="umatan" side="right"}
簡単に言うと、指数分布は先程のガンマ分布の$α$に1を代入したものなんだ。つまり指数分布はパラメータ$β$にしたがう確率分布ということになるね！
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$f(x)$ = $\frac{1}{β}e^{-\frac{x}{β}}$ $(x>=0)$

$f(x)$ = 0 $(x<0)$

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したがって指数分布は

<mark>

ある単位時間$λ$($\frac{1}{β})$に1回起きるまでの期間を確率変数Xが従う確率分布なんだ！

</mark>
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$f(x)$ = $λe^{-λx}$　$(x>=0)$

$f(x)$ = 0 $(x<0)$

## ガンマ分布・指数分布の期待値・分散について解説！

![Teacher](/wp-content/uploads/2017/11/Teacher-amico-e1617441719965-1024x898.png)

:::talk{who="umatan" side="right"}
ここからはガンマ分布の期待値・分散の導出方法について解説するよ！先程の解説からガンマ分布の期待値・分散に$α$=1を代入すれば指数分布の期待値・分散になることが分かるね！
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$E(X)$ = $\frac{1}{β\Gamma{(α)}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} xx^{α-1}e^{-x} dx$ = $\frac{β^{α+1}\Gamma{(α+1)}}{β^{α}\Gamma{α}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{β^{α+1}\Gamma{α+1}}$$x^{α}e^{-\frac{x}{β}} dx$ = $αβ$

$V(X)$ = $E(X^{2})$-$E(X)^{2}$ = $\frac{1}{β\Gamma{(α)}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2}x^{α-1}e^{-x} dx$ – $(αβ)^{2}$=

$\frac{β^{α+2}\Gamma{(α+2)}}{β^{α}\Gamma{(α)}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{β^{α+2}\Gamma{(α+2)}}$$x^{α+1}e^{-\frac{x}{β}} dx$ – $(αβ)^{2}$ = $(α+1)αβ^{2}$ – $(αβ)^{2}$ = $αβ^{2}$

:::talk{who="umatan" side="right"}
ガンマ分布の期待値・分散が分かったね！そして指数分布の期待値・分散はこれらの$α$に1を代入すればOK！
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$E(X)$ = $β$

$V(X)$ = $β^{2}$

## ガンマ分布・指数分布をPythonで実装してみよう！

![stories pc](/wp-content/uploads/2021/01/All-the-data-bro-e1613475965440-1024x789.png)

それでは実際にガンマ分布・指数分布をPythonで実装してみましょう！

今回は<mark>scipy.stasのgamma関数を用いてガンマ分布・指数分布の分布を作成</mark>します！

```python
import numpy as np
from scipy.stats import gamma
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

a_1 = 100.0
a_2 = 1.0
b_1 = 0.10
b_2 = 1.0
x = np.linspace(0,50,250)
y_1 = gamma.pdf(x=x, a=a_1, scale = 1.0/b_1)
y_2 = gamma.pdf(x=x, a=a_2, scale = 1.0/b_2)
y_3 = gamma.pdf(x=x, a=a_1, scale = 1.0/b_1)
y_4 = gamma.pdf(x=x, a=a_2, scale = 1.0/b_1)

fig, axes = plt.subplots(2,2,figsize=(12,6))
axes[0][0].plot(x, y_1,label="gamma:alpha 10, beta 10")
axes[0][0].legend()
axes[0][1].plot(x,y_2,label="gamma: alpha 1, beta 10")
axes[0][1].legend()
axes[1][0].plot(x,y_3,label="exponential: alpha 10, beta 1")
axes[1][0].legend()
axes[1][1].plot(x,y_4,label="exponential: alpha 1 beta 1")
axes[1][1].legend()
plt.show()
```

:::talk{who="umatan" side="right"}
ガンマ分布・指数分布のパラメータを変化させると分布の形も大きく変わることが分かったね！
:::

![ガンマ分布・指数分布](/wp-content/uploads/2023/03/f81fd2e4c52864042852c112ce927ae2-1.png)

## ガンマ分布・指数分布　まとめ

![Happy](/wp-content/uploads/2020/08/Celebration-amico-min-e1618926172675-1024x932.png)

本記事では**ガンマ分布と指数分布**についてまとめました！

ガンマ分布・指数分布について理解できた方は、離散型分布の代表である[一様分布](/uniform)、[二項分布](/binomial)と[ポアソン分布](/poisson)，[正規分布](/gauss)を勉強すると良いでしょう！

確率分布は様々なものがあり、データや目的によって適切に使うことで初めて効果が表れる非常に優れたツールであると考えられます！確率分布だけでなく、統計学の知識やデータサイエンスの知識を得ることで、今までにない知見を身に付けることができます！

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