# モンテカルロ法とは？円周率の求め方や精度、使われる場面をPythonで分かりやすく解説！ > モンテカルロ法とは、乱数を使ってたくさん試し、知りたい値をだいたい推測する方法です。本記事では、基本の手順、ランダムに点を打って円周率を求める実験、誤差が1/√nで減る精度の話、リスク分析やAIでの使われ方を、図とPythonのコードで分かりやすく解説します！ - URL: https://toukei-lab.com/monte-carlo - 公開: 2026.10.28 - サイト: スタビジ（https://toukei-lab.com） :::talk{who="umatan"} 当サイト【スタビジ】の本記事では、「モンテカルロ法（モンテカルロシミュレーション）」について分かりやすく解説していきます！ランダムに点を打つだけで円周率が求まる実験から、精度の話、実際に使われる場面まで見ていきましょう！ ::: こんにちは！ウマたんです！ 円周率は「3.14…」と、学校で習いましたよね。 では、もし円周率の公式も値も知らなかったとしたら、どうやって求めればいいでしょうか？ 実は、紙の上にでたらめに点を打って数えるだけで、円周率をかなり正確に求められるんです。 この「でたらめに、たくさん試す」ことで答えに迫る方法が、今回のテーマ「**モンテカルロ法**」です。 :::talk{who="man" side="left"} モンテカルロ法って、データサイエンスの本でよく見るけど、何をしているのかよく分からない… ::: :::talk{who="woman"} ランダムに試すだけで、本当に正しい答えに近づくの？ ::: 本記事では、次の5つを順番に解説していきます。 :::point **・モンテカルロ法とは？**\ **・モンテカルロ法の基本の手順**\ **・モンテカルロ法で円周率を求めてみよう**\ **・モンテカルロ法はどれくらい正確？**\ **・モンテカルロ法が使われる場面** ::: 以下のYouTube動画でも解説していますので、あわせてチェックしてみてください！ ::youtube{#Njg237BYR8U} ## モンテカルロ法とは？ **モンテカルロ法とは、乱数を使ってランダムにたくさん試し、知りたい値をだいたい推測する方法**です。 シミュレーションの形で使うことが多いので、「**モンテカルロシミュレーション**」とも呼ばれます。 世の中には、計算が難しすぎて、正確な式で答えを出すのが大変な問題がたくさんあります。 そんなときでも、サイコロや乱数を使ったシミュレーションを何度も何度も繰り返すと、答えの近くにどんどん迫っていけるんです！ | | 正確な式で解く | モンテカルロ法 | |---|---|---| | やり方 | 数式を組み立てて、計算で答えを出す | 乱数でたくさん試して、結果の平均や割合を取る | | 答え | ぴったりの値 | だいたいの値（回数を増やすほど正確になる） | | 向いている問題 | 式で表せる、シンプルな問題 | 式にするのが難しい、複雑な問題 | | 必要なもの | 数学の知識 | 計算の回数（コンピューターの力） | 式が分からなくても、コンピューターに「たくさん試してもらう」ことで答えを出せる。 これがモンテカルロ法の一番の強みなんです！ ### 名前の由来はモナコのカジノ 「モンテカルロ」は、モナコ公国にある地区の名前です。 カジノで有名な街で、サイコロやルーレットのような「ランダム性」を連想させることから、この名前がつきました。 1940年代に、数学者のスタニスワフ・ウラム氏やジョン・フォン・ノイマン氏らが、研究の中でこの方法を使い始めたのが始まりとされています。 ちょうどコンピューターが登場したころで、「人の手では無理な回数の試行も、コンピューターならできる」という時代の流れとぴったり合っていたんですね。 ## モンテカルロ法の基本の手順 モンテカルロ法の基本は、とてもシンプルです。 :::box{title="モンテカルロ法の3つのステップ"} **①** ランダムに乱数を作る\ **②** その乱数を使ってシミュレーションをする\ **③** たくさん繰り返して、結果の平均（割合）を取る ::: これだけで、だいたいの答えが分かるんです。 そして、繰り返す回数が増えるほど、答えは本物に近づいていきます。 これは、統計学の「**大数の法則**」という性質に支えられています。 たくさん試せば試すほど、試した結果の平均は、本当の値に近づいていく、という法則です。 ### 例：サイコロ2個の合計が7になる確率 かんたんな例で考えてみましょう。 サイコロを2個振ったとき、合計が7になる確率はいくつでしょうか？ 計算で求めると、目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通り。 そのうち合計が7になるのは、(1, 6)・(2, 5)・(3, 4)・(4, 3)・(5, 2)・(6, 1) の6通りなので、確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ です。 でも、もしこの計算のしかたを知らなかったとしても大丈夫。 実際に何回もサイコロを振って、「合計が7になった回数の割合」を数えれば、だいたい1/6に近づくはずです。 Pythonで、サイコロ2個を10万回振るシミュレーションをしてみましょう。 ```python import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) n = 100_000 dice1 = rng.integers(1, 7, size=n) # 1〜6の目をn回 dice2 = rng.integers(1, 7, size=n) rate = np.mean(dice1 + dice2 == 7) # 合計が7になった割合 print(f"シミュレーション：{rate:.4f}") print(f"計算で出した答え：{1/6:.4f}") ``` ```text シミュレーション：0.1667 計算で出した答え：0.1667 ``` 計算で出した1/6（約0.1667）と、ほぼぴったり一致しましたね！ 正確な式を知らなくても、ランダムに試して割合を取るだけで、答えに近づける。 まさにこのアプローチが、モンテカルロ法なんです。 ## モンテカルロ法で円周率を求めてみよう モンテカルロ法の例として特に有名なのが、**円周率πを求める実験**です。 冒頭の「でたらめに点を打つだけで円周率が求まる」という話ですね。 ### 正方形と円の面積の比を使う まず、1辺の長さが1の正方形を用意します。 その中に、半径1の円の4分の1（扇形）を描きます。 :::box{title="面積をくらべると"} **・正方形の面積**：$1 \times 1 = 1$\ **・円の4分の1の面積**：$\pi \times 1^2 \div 4 = \frac{\pi}{4}$ ::: この正方形の中に、ランダムに点をたくさん打っていきます。 点は正方形のどこにでも同じくらいの出やすさで落ちるので、円の中に入る点の割合は、面積の比 $\frac{\pi}{4}$ に近づいていくはずです。 $$ \frac{\text{円の中に入った点の数}}{\text{打った点の数}} \approx \frac{\pi}{4} $$ つまり、円の中に入った点の割合を4倍すれば、円周率πが推定できるんです！ 点 $(x, y)$ が円の中に入っているかどうかは、原点からの距離が1以下か、つまり $x^2 + y^2 \leq 1$ かどうかで判定できます。 実際に点を100個、1,000個、10,000個と打ってみると、こんな感じになります。 ![正方形の中にランダムに点を打ち、円の中に入った点（青緑）の割合を4倍すると、円周率の推定値になる](/wp-content/uploads/2026/10/monte-carlo-pi.jpg) 点の数が少ないうちは3.12や3.17のようにずれていますが、点を増やすと本当の円周率（3.14159…）に近づいていきますね。 ### Pythonで実装してみよう このモンテカルロ法で円周率を求めるアプローチは、Pythonで簡単に実装できます。 ```python import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) # 乱数の種を決めておくと、毎回同じ結果になる for n in [100, 1_000, 10_000, 100_000, 1_000_000]: x = rng.random(n) # 0〜1の乱数をn個（点のx座標） y = rng.random(n) # 0〜1の乱数をn個（点のy座標） inside = (x**2 + y**2) <= 1 # 円の中に入ったかどうか pi_est = 4 * inside.mean() # 円の中に入った割合 × 4 print(f"{n:>9,}個の点 → π ≒ {pi_est:.4f}") ``` ```text 100個の点 → π ≒ 2.7200 1,000個の点 → π ≒ 3.2000 10,000個の点 → π ≒ 3.1388 100,000個の点 → π ≒ 3.1442 1,000,000個の点 → π ≒ 3.1409 ``` 100個のときは2.72と大きく外れていますが、100万個まで増やすと3.1409。本当の値の3.14159…にかなり近づきました！ ここで使っている `rng.random()` は、0から1の間のどの値も同じくらいの出やすさで出てくる乱数です。このような分布は「**一様分布**」と呼ばれます。 点を1個ずつ増やしながら、推定値がどう変わっていくかをグラフにすると、次のようになります。 ![点を増やすほど、円周率の推定値は本当の値（点線）に近づいていく。青緑の線と灰色の線は、乱数を変えて試した結果](/wp-content/uploads/2026/10/monte-carlo-convergence.jpg) はじめのうちは大きく上下にぶれていますが、点が増えるにつれて、どの線も本当の円周率のまわりに落ち着いていきます。 回数を増やせば増やすほど、ランダムなぶれが打ち消し合って、本物の値に近づいていくんです！ ## モンテカルロ法はどれくらい正確？ では、モンテカルロ法はどれくらい正確なのでしょうか？ もちろん、試す回数を増やせば増やすほど正確になります。 ### 誤差は「1/√n」のペースで小さくなる 具体的には、モンテカルロ法の誤差は、だいたい $\frac{1}{\sqrt{n}}$ のペースで小さくなっていきます（$n$ は試す回数）。 $$ \text{誤差} \propto \frac{1}{\sqrt{n}} $$ たとえば、$n = 1{,}000$ 回から $n = 10{,}000$ 回に増やすと、誤差は約 $\frac{1}{\sqrt{10}}$、つまり約3.16分の1に小さくなります。 逆に言うと、誤差を10分の1にしたかったら、100倍の回数を試す必要があるんです。 実際に、円周率の実験をそれぞれの回数で300回ずつくり返して、誤差の平均を調べてみました。 ![回数を100倍にするたびに、誤差はおよそ10分の1になっている（両方の軸が対数目盛り）](/wp-content/uploads/2026/10/monte-carlo-error.jpg) | 打った点の数 | 誤差の平均 | |---|---| | 10 | 約0.398 | | 100 | 約0.130 | | 1,000 | 約0.043 | | 1万 | 約0.013 | | 10万 | 約0.0043 | 10回 → 1,000回 → 10万回と、回数を100倍にするたびに、誤差がほぼ10分の1になっていますね！ ### モンテカルロ法の強みと弱み この「1/√n」という性質から、モンテカルロ法の強みと弱みが見えてきます。 :::good **・式が分からなくても、試すだけで答えに近づける**\ **・変数（次元）がたくさんある問題でも、誤差が減るペース（1/√n）は変わらない**\ **・考え方がシンプルで、コードも短く書ける** ::: :::warn **・精度を上げるには、回数を大きく増やす必要がある（10倍正確にするには100倍の計算）**\ **・乱数を使うので、実行するたびに結果が少し変わる（乱数の種を決めれば再現できる）**\ **・得られるのは「だいたいの値」なので、どれくらいずれていそうかも合わせて考える** ::: 特に2つ目の強みは大事です。 変数がたくさんある問題では、マス目のように細かく区切って計算するやり方だと、区切りの数が爆発的に増えてしまいます。 モンテカルロ法なら、変数が増えても誤差の減るペースは同じなので、複雑で変数の多い問題ほど、モンテカルロ法の出番が増えるんです！ ## モンテカルロ法が使われる場面 それでは、現実の世界では、モンテカルロ法をどんな場面で使うのでしょうか？ 大きく分けると、次の3つの場面で活躍します。 :::box{title="モンテカルロ法が使われる3つの場面"} **・面積や確率を求めたいけど、式で計算するのが難しいとき**\ **・株価の変動や在庫切れの確率など、将来のリスクを知りたいとき**\ **・待ち行列や交通渋滞など、複雑な仕組みを試しながら理解したいとき** ::: ### 将来のリスクを見積もる たとえば、お店の在庫を考えてみましょう。 毎日のお客さんの数はばらつくので、「明日の在庫が足りなくなる確率」を式でぴったり出すのは大変です。 そこで、過去のデータをもとに「1日のお客さんの数」を乱数で作り、1万日分のシミュレーションをします。 そのうち在庫切れになった日の割合を数えれば、在庫切れの確率がだいたい分かるわけです。 | 分野 | モンテカルロ法の使い方の例 | |---|---| | 金融・投資 | 株価がランダムに動くとしてたくさんの未来を作り、損失がどれくらい出そうかを見積もる | | 小売・物流 | お客さんの数をばらつかせて、在庫切れが起きる確率を調べる | | 交通・サービス | 車や人の到着をランダムに起こして、渋滞や待ち時間の長さを調べる | | 製造・品質 | 部品の寸法のばらつきを乱数で再現して、不良品が出る割合を調べる | | 物理・工学 | 粒子の動きをランダムに追いかけて、複雑な現象を再現する | 「ばらつき」があるものをたくさん再現して、起こりうる未来をまとめて眺められるのが、モンテカルロ法の強みなんです。 ### AIや統計学の中でも活躍している モンテカルロ法は、AIや統計学の世界でもあちこちで使われています。 たとえば、2016年にトップ棋士に勝って話題になった囲碁AI「**AlphaGo**」は、「**モンテカルロ木探索**」という方法を使っていました。 先の展開をランダムにたくさん試して、どの手が勝ちにつながりやすいかを見積もる方法です。 また、強化学習でも、実際に最後までプレイしてみた結果の平均から「その状態がどれくらい良いか」を見積もるモンテカルロ法が、基本の手法として登場します。 強化学習については、以下の記事で解説しています。 ほかにも、ベイズ統計学では「**MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ法）**」という方法で、計算の難しい分布から乱数を取り出して推定を行います。 | 分野 | モンテカルロ法の考え方が使われているもの | |---|---| | ゲームAI | モンテカルロ木探索（AlphaGoなど） | | 強化学習 | プレイした結果の平均から、状態や行動の良さを見積もる | | ベイズ統計学 | MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ法） | | 統計の検証 | 乱数でデータを作って、分析の方法がうまく働くかを確かめる | 複雑な問題に対して、大量の乱数でシミュレーションして、だいたいの値を推定する。 このアプローチは非常に役に立つので、ぜひ覚えておきましょう！ ## モンテカルロ法のまとめ 最後に、今回のポイントをおさらいしましょう！ :::point **・モンテカルロ法は、乱数でランダムにたくさん試して、知りたい値をだいたい推測する方法**\ **・手順は「乱数を作る → シミュレーションする → たくさん繰り返して平均（割合）を取る」の3つ**\ **・正方形にランダムに点を打ち、円に入った割合を4倍すると、円周率が求まる**\ **・誤差は1/√nのペースで減るので、10倍正確にするには100倍の回数が必要**\ **・リスクの見積もりや待ち行列、囲碁AIやベイズ統計学など、幅広い場面で使われている** ::: :::talk{who="umatan"} 要は、「式で解けないなら、たくさん試して数えればいい」という発想なんです！ぜひPythonで点を打って、円周率が近づいていく様子を自分の目で確かめてみてください！ ::: 統計学やデータサイエンスを体系的に学びたいのであれば、当メディアが運営するスクール「**[スタアカ](https://toukei-lab.com/achademy/)**」がオススメです！ :::box **[業界最安級のAIデータサイエンス特化スクール「スタアカ」](https://toukei-lab.com/achademy/)** :::