こんにちは！
データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！
今回は大数の法則について解説していきます！大数の法則とは「サンプルサイズnが大きくなることで、平均\(μ\)、分散\(σ^{2}\)の独立同一分布に従う確率変数の標本平均は母平均に近似できる定理」です！
・大数の法則の定義について解説！
・大数の法則の挙動をPythonで見てみよう
以下のYoutube動画でも解説しているのであわせて是非チェックしてみてください！
大数の法則について解説！
繰り返しますが大数の法則とは、「サンプルサイズ\(n\)が大きくなると、平均\(μ\)、分散\(σ^{2}\)の独立同一分布に従う確率変数の標本平均は母集団に近づく性質」になります。
もっと言い換えると、サンプルサイズを大きくしていくと標本平均と母平均の差は限りなく小さくなることと同義ですね！これを、以下の式で表すことができます！
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(|\frac{X_{1}+X_{2}+…+X_{n}}{n} – μ| \geq ε )= 0\)
ここから標本平均と母集団の差が\(ε\)以上になる確率はサンプルサイズ\(n\)を増やすと0に近づくことがわかりますね！
これをコインで考えてみましょう！まずは表が出る確率が\(\frac{1}{2}\)のコインを10回投げてみるとします。10回くらいなら表が出る確率はばらけると思います。
それでは10000回投げてみると考えてみましょう！大数の法則から考えると表が出る確率は\(\frac{1}{2}\)に近づくと考えられますね！
上記の式で見てみると、\(X_{i} = 0（裏）, 1（表）\)として考え、その合計をサンプルサイズで割ることで表が出る確率がわかりますね。これをPythonで実装してみましょう！
実際に大数の法則の挙動を見てみよう！
実際にPythonでコインを100回振った場合と10000回振った場合の表が出る確率を見て、母平均\(\frac{1}{2}\)に近づいているか確認してみましょう！
Pythonのコードは以下の通りです！コインはnumpy.randomのchoice関数で表か裏かを選択します！この時、表が出たなら1、裏が出たら0としてカウントします。これを100回、10000回繰り返して出力してみましょう！その後、matplotlib.pyplotを使ってプロットを出力してみることを試みてみましょう！
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1,2,figsize=(20,5))
coin = [0,1]
x = 0
n = 0
result = []
for i in [101,10001]:
for j in range(1,i):
x +=np.random.choice(coin)
result.append(x/j)
axes[n].plot([k for k in range(len(result))],result)
axes[n].plot([k for k in range(len(result))],[0.5 for k in range(len(result))])
n += 1
x = 0
\(n\)=100の場合は\(\frac{1}{2}\)に近づいていることがわかりますが、母平均と近似できるほどではないように感じますね。一方、10000回投げるとほぼ\(\frac{1}{2}\)となり、大数の法則を確認することができました！
大数の法則 まとめ
本記事では大数の法則についてまとめました！
大数の法則を応用した定理として中心極限定理が挙げられます！こちらはサンプルサイズが大きくなると、どんな分布でも正規分布に近似できるというとても重要な定理ですので、しっかり勉強してみるとよいでしょう！こちらの記事から見ることができます！
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