大数の法則について分かりやすく解説しPythonで検証！中心極限定理に繋がる法則とは？

こんにちは！

データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！

今回は大数の法則について解説していきます！大数の法則とは「サンプルサイズnが大きくなることで、平均$μ$、分散$σ^{2}$の独立同一分布に従う確率変数の標本平均は母平均に近似できる定理」です！

以下のYoutube動画でも解説しているのであわせて是非チェックしてみてください！

大数の法則について解説！

繰り返しますが大数の法則とは、「サンプルサイズ$n$が大きくなると、平均$μ$、分散$σ^{2}$の独立同一分布に従う確率変数の標本平均は母集団に近づく性質」になります。

もっと言い換えると、サンプルサイズを大きくしていくと標本平均と母平均の差は限りなく小さくなることと同義ですね！これを、以下の式で表すことができます！

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(|\frac{X_{1}+X_{2}+…+X_{n}}{n} – μ| \geq ε )= 0$

ここから標本平均と母集団の差が$ε$以上になる確率はサンプルサイズ$n$を増やすと0に近づくことがわかりますね！

これをコインで考えてみましょう！まずは表が出る確率が$\frac{1}{2}$のコインを10回投げてみるとします。10回くらいなら表が出る確率はばらけると思います。

それでは10000回投げてみると考えてみましょう！大数の法則から考えると表が出る確率は$\frac{1}{2}$に近づくと考えられますね！

上記の式で見てみると、$X_{i} = 0（裏）, 1（表）$として考え、その合計をサンプルサイズで割ることで表が出る確率がわかりますね。これをPythonで実装してみましょう！

実際に大数の法則の挙動を見てみよう！

実際にPythonでコインを100回振った場合と10000回振った場合の表が出る確率を見て、母平均$\frac{1}{2}$に近づいているか確認してみましょう！

Pythonのコードは以下の通りです！コインはnumpy.randomのchoice関数で表か裏かを選択します！この時、表が出たなら1、裏が出たら0としてカウントします。これを100回、10000回繰り返して出力してみましょう！その後、matplotlib.pyplotを使ってプロットを出力してみることを試みてみましょう！

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(1,2,figsize=(20,5))
coin = [0,1]
x = 0
n = 0
result = []

for i in [101,10001]:
    for j in range(1,i):
        x +=np.random.choice(coin)
        result.append(x/j)
    axes[n].plot([k for k in range(len(result))],result)
    axes[n].plot([k for k in range(len(result))],[0.5 for k in range(len(result))])
    n += 1
    x = 0

$n$=100の場合は$\frac{1}{2}$に近づいていることがわかりますが、母平均と近似できるほどではないように感じますね。一方、10000回投げるとほぼ$\frac{1}{2}$となり、大数の法則を確認することができました！

乱数をたくさん使って答えに近づける「モンテカルロ法」も、この大数の法則に支えられた方法です。くわしくは以下の記事で解説しています。

モンテカルロ法とは？円周率の求め方や精度、使われる場面をPythonで分かりやすく解説！モンテカルロ法とは、乱数を使ってたくさん試し、知りたい値をだいたい推測する方法です。本記事では、基本の手順、ランダムに点を打って円周率を求める実験、誤差が1/√nで減る精度の話、リスク分析やAIでの使われ方を、図とPythonのコードで分かりやすく解説します！

大数の法則　まとめ

本記事では大数の法則についてまとめました！

大数の法則を応用した定理として中心極限定理が挙げられます！こちらはサンプルサイズが大きくなると、どんな分布でも正規分布に近似できるというとても重要な定理ですので、しっかり勉強してみるとよいでしょう！こちらの記事から見ることができます！

中心極限定理についてPythonで挙動を見ながら解説！当サイト【スタビジ】の本記事では、中心極限定理について解説してきます。中心極限定理とはサンプルサイズnが大きくなることで、どのような分布であっても平均μ、分散\(\frac{σ^{2}}{n}\)の正規分布に近似する性質を指します。今回はサイコロの例を使いつつ、中心極限定理の挙動を見ていきたいと思います！

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