中心極限定理についてPythonで挙動を見ながら解説！

こんにちは！

データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！

今回は中心極限定理について解説していきます！中心極限定理とは「サンプルサイズnが大きくなることで、母集団がどのような分布であっても標本平均の分布は平均$μ$、分散$\frac{σ^{2}}{n}$の正規分布に近似する定理」と考えられています！

この記事では、中心極限定理の定義について解説しつつ、サイコロの例をつかって正規分布に近似していく様子を見ていきます！

以下のYoutube動画でも解説しているのであわせて是非チェックしてみてください！

中心極限定理について解説！

中心極限定理とは「サンプルサイズnが大きくなることで、母集団がどのような分布であっても標本平均の分布は平均$μ$、分散$\frac{σ^{2}}{n}$の正規分布に近似する定理」です。

いきなり正規分布という単語が出てきたため混乱すると思うので、今回はサイコロの例を使って、中心極限定理を見ていきましょう！

まず前提として母集団から$n$個の標本$X_{n}$を無作為抽出した場合、その平均は以下の式で表すことができます！

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}$

これを中心極限定理で考えてみると、「$\bar{X}$の分布はサンプルサイズ$n$を増やすことで、正規分布に近似される」ことが言えるはずです！

そして今回はサイコロの例を使って見ると、「サイコロの目の平均のサンプルサイズを増やすことで、正規分布に近似される」と言い換えることができます！

サイコロを100回振った時のサイコロの出目の平均値を計算するという施行を何回も繰り返すと、その平均値の分布は正規分布に近づくということなんです！

実際に中心極限定理の挙動を見てみよう！

実際にPythonでサイコロを100回振った場合のサイコロの目の平均のヒストグラムを見て、正規分布に近づいているか確認してみましょう！そして標本平均を5回、10回、100回、10000回と抽出してみましょう。

Pythonのコードは以下の通り！サイコロの目はnumpy.randomのrandint関数で生成して（randint(1,7)で1〜6の整数が出ます）、その平均を出力してみましょう！その後、matplotlib.pyplotやseabornを使ってヒストグラムを出力してみることを試みてみましょう！（seabornのdistplotは非推奨になったので、histplotで描いています）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
%matplotlib inline

total = []
fig, axes = plt.subplots(1,4,figsize=(10,5))
for j,n in enumerate([5,10,100,10000]):
    for i in range(n):
        X_n = np.random.randint(1,7,100)
        X_mean = np.mean(X_n)
        total.append(X_mean)
    sns.histplot(total,kde=True,stat="density",ax=axes[j],label="n={}".format(n))
    axes[j].legend()
    total = []
plt.show()

$n$=5, 10ではまだ形がはっきりしませんが、$n$=100、10000と増やすと、サイコロの目の期待値3.5を中心にした山の形になっていきます。$n$=10000ならほぼ正規分布といっても過言ではないでしょう！試行回数を増やせば増やすほど、分布の形が分かりやすくなりますね！

中心極限定理　まとめ

本記事では中心極限定理についてまとめました！中心極限定理のベースとなる大数の法則についてもあわせてチェックしてみてください。

また、中心極限定理を用いる代表的な分布として二項分布が挙げられます！スタビジでは二項分布の解説と正規分布への近似まで解説しているので、是非見てください！

二項分布について解説！定義と期待値・分散の計算、正規分布への近似について！当サイト【スタビジ】の本記事では、二項分布について解説していきます！二項分布は代表的な離散的分布の一つです。今回は二項分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素も解説していきます。

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