二項分布について解説！定義と期待値・分散の計算、正規分布への近似について！

こんにちは！

デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！

離散的な分布は数多くありますが、その中でも二項分布は非常に重要で基礎的な分布です！

二項分布は「n回のベルヌーイ試行（後ほど説明）の中で、k回成功する確率を表した分布」を表しています。具体例を出すと、n回コインを投げてk回表が出る確率を表しているとも言えるでしょう！

この記事では、そんな二項分布の定義を解説をしながらもその性質について解説していきます。またPythonで二項分布を確認してみましょう！

動画で学びたい方は以下のYoutube動画でも解説しているのでこちらも参考にしてみてください！

ベルヌーイ試行と二項分布について解説！

ベルヌーイ試行は「コインを投げたときに表か裏しか出ないような、イベントが発生した結果が2通りしかない試行」のことを指します！

$P(X=1)$ = $p$

$P(X=0)$ = $1-p$

そして二項分布は「ベルヌーイ試行をn回繰り返して、成功する回数Xが従う確率分布」を表しています！

$P(X=k)$ = ${}_n\mathrm{C}_k p^{k} (1-p)^{n-k}$

二項分布の平均・分散について解説！

分布の期待値と分散について理解することで、データへの理解が深まります！

$$\begin{aligned} E(X)&=\sum_{k=0}^{n}k\,{}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}\\ &=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ &=np \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V(X)&=E(X^{2})-E(X)^{2}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k^{2}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}-(np)^{2}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\{k(k-1)+k\}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}-(np)^{2}\\ &=n(n-1)p^{2}\sum_{k=2}^{n}\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np-(np)^{2}\\ &=(np)^{2}-np^{2}+np-(np)^{2}=np(1-p) \end{aligned}$$

中心極限定理(正規分布への近似）について解説！

この性質は、中心極限定理に基づいています！

前提として$X_{1}$…$X_{n}$はそれぞれ独立かつ同一な分布に従っていると仮定します。そしてその分布の平均は$μ$、分散は$\sigma^{2}$とします。

また$X$=$X_{1}$+$X_{2}$+…+$X_{n}$

中心極限定理とは「サンプルサイズ$n$が大きい時、元の分布が何であっても、その和$X$（や平均）の分布は正規分布で近似できる」性質を言います！あるいは「サンプルサイズ$n$が大きい時、標本平均$\bar{X}$と真の平均$μ$の差は正規分布$N(0,\frac{\sigma^{2}}{n})$に近似できる」定理です！

つまりサンプルサイズが大きい時、二項分布は平均$np$、分散$np(1-p)$の正規分布で近似できるということになります！

また$X_{1}$…$X_{n}$がベルヌーイ試行の場合、$\frac{X}{n}-p$は近似的に正規分布$N(0,\frac{p(1-p)}{n})$に従うことが分かりますので、$X-np$が近似的に正規分布$N(0,np(1-p))$に従うことと同義ですね！

実際に二項分布をPythonで実装！

実際に二項分布をPythonで実装してみましょう！

今回はScipy.statsのbinom関数を使って、成功する確率pを0.2に固定し、サンプルサイズ10とサンプルサイズ100の二項分布を実装し、比較してみました！

from scipy.stats import binom
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

#図の設定
fig,ax = plt.subplots(1,2,figsize=(10,5))

#n=10,p=0.2の二項分布
X_1 = np.arange(0,11)
f = binom(10,0.2)
y = f.pmf(X_1)
ax[0].bar(X_1, y)

#n=100,p=0.2の二項分布
X_2 = np.arange(0,101)
f = binom(100,0.2)
y = f.pmf(X_2)
ax[1].bar(X_2, y)
plt.show()

二項分布　まとめ

本記事では、二項分布についてまとめました！

二項分布について理解できた方は、二項分布と関係があるポアソン分布を勉強すると良いでしょう！

ポアソン分布について図でわかりやすく解説！二項分布からの平均と分散の計算方法は？当サイト【スタビジ】の本記事では、ポアソン分布について解説していきます！ポアソン分布とは、ある事象が一定の時間に発生する回数を示す離散的な分布の1つであり、単位時間当たり平均λ回起こるような事象が単位時間にk回発生する分布を表しています！今回はポアソン分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素も解説していきます。

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