統計学

95%信頼区間の求め方!誰でも分かる区間推定

95%信頼区間
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ウマたん
ウマたん
当サイト【スタビジ】の本記事では、区間推定について解説していきます。区間推定とは「抽出した一部のデータから、データ全体の特徴をある区間でもって推定する方法」のことです。今回は、そもそも推定とは?といったイメージの話から、実際の区間推定を行う計算方法まで詳しく解説していきます!

こんにちは!スタビジ編集部です!

今回は区間推定と95%信頼区間について解説をしていきます!

区間推定とは「抽出した一部のデータから、データ全体の特徴をある区間でもって推定する方法」のことです。

ウマたん
ウマたん
区間推定は、限られたサンプルから調べたい全体の特徴を推定できるので、良く使われるとても有効な手法なんだ!

この記事では、区間推定とはどんなことをやっているのか?計算はどのように行うのか?について解説します!

・そもそも推定とは何かをイメージで理解!
・区間推定について解説!
・95%信頼区間とは何か?具体的な計算方法含め解説!

以下の動画でも解説していますのでチェックしてみてください!

そもそも推定とは!?

そもそも推定とは?

早速、区間推定や信頼区間について解説します!と、いきたいところですが。。

まず前提として、95%信頼区間や区間推定を学ぶ前に以下の点を抑えておきましょう!

推定とは?

推定とは、「本当は全データ分調べたいけどそれだと手間がかかり過ぎるので少ないデータで特徴を捉えよう!」というものです。

例えばクラス20人の平均身長なら求めることが可能かもしれませんが、アメリカ人男性の平均身長が知りたい..!となったときには全データで統計量を算出するのは厳しいですよね?

そこで登場するのが推定というわけです!

ロボたん
ロボたん
なるほど..!そもそも全てのデータを取得できる場合には不要な概念なんだね!
ウマたん
ウマたん
その通り!この推定には大きく分けて2種類あるんだ!

推定には、大きく分けて①点推定、②区間推定があります。

①点推定

全データの中からサンプルを抜き出して、そのサンプルを元に平均値などの統計量を求め、推定値とする

②区間推定

取るサンプルの数にもよるが推定には誤差が生じることを考慮し、幅を持たせてあげて推定値とする

 

それぞれの具体例は以下の通りです。

点推定と区間推定

①の点推定ではピンポイントの値で推定するため区間という考え方は出てこないです。

一方で区間推定では、幅を持たせて推定を行うので95%信頼区間といった概念が出てくるんです!

②区間推定についてはもう少し詳しく考えていきましょう。

区間推定・95%信頼区間について解説!

区間推定・95%信頼区間

調べたい全てのデータ(以降、母集団)があったときに、そこからランダムでサンプルを抜き出しますが、上手く真ん中の方からサンプルを抜き出してきているとは限りません。

母集団からサンプルを抽出1

例えば平均値が知りたいとき、母集団のど真ん中から抜き出していれば推定値はぴったりです。

ですが実際にはランダムにサンプルを抜き出したとしても高めの層から抜き出してきてしまうケースもあれば、低めの層から抜き出してしまうケースもあるのです!

母集団からサンプルを抽出2

確率としては上記のようにすっごい高いところや低い所から抜き出してしまう可能性は低いし真ん中付近から抽出される可能性は高いでしょう。

これらを統計学的に計算し、「サンプル抽出した結果から信頼区間を求めた際に100回に95回くらいはその間に母平均が入るだろう!」を推定するのが区間推定であり、この区間が95%信頼区間なのです!!

95%信頼区間がもっとも一般的ですが、90%信頼区間や99%信頼区間などももちろん存在します。

95%信頼空間と比較すると90%信頼区間は狭くなり、99%信頼区間は広くなります

具体的なイメージが以下になります。

信頼係数上昇に伴う信頼区間の拡大

%が上がると、例えば99%信頼区間ではデータ抽出を繰り返すと100回に99回は全データの平均値が信頼区間の幅に収まっていなければならないと考えると区間が広くなっていくのが納得ですね!!

信頼区間の計算方法

信頼区間の計算方法

ここから、実際に信頼区間を求めていきましょう。

少し数式が登場しますが、とりあえず概念だけ知りたい方は飛ばしてしまっても構いません!

ずばり結論から!

95%信頼区間は以下の式で計算されます!

\(\bar{x}-1.96\times\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}\leq\mu\leq\bar{x}+1.96\times\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}\)

ウマたん
ウマたん
\(\bar{x}\)に対して、\(1.96\times\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}\)の分を足し引きされたものが区間となっていることがわかるね!

それでは式に出てくる、\(\bar{x}\)・\(\sigma^{2}\)・\({n}\)について説明します!

\(\bar{x}\)は、抽出したサンプルの平均値を表します。100人の身長を測ったらその平均が174cmだった場合、これが\(\bar{x}\)に当たります。

気付いた方もいるかもしれませんが、これはそのまま点推定値になります!

続いて、\(\sigma^{2}\)。これは母分散に該当します。

データがどれくらいばらついているかを表す指標に他ならないですが、現実に推定する際には母分散も母平均同様分かっていないケースがほとんどです。

そんなときに標本から母集団の分散を推定する際、不偏分散が用いられます。

\(s^{2}\)などで表されますが\(\sigma^{2}\)のところを\(s^{2}\)に置き換えて推定する場合もあるんだ―とここでは知っていただければと思います。

この辺のTopicsについて詳しく知りたい方は以下の記事をご参照ください!!

分散の求め方!不偏分散と標本分散の違い当サイト【スタビジ】の本記事では、分散について解説していきます!分散とは「データの散らばり具合を示す」重要な指標となっています。今回は分散の定義について解説しつつ、分散のなかでも標本分散と不偏分散の違いについて解説してPythonで実装していきます!...

最後に、\({n}\)。

これは簡単で、抽出したサンプルサイズ(→何個データを取ったか)のことを指します!

サンプルサイズ\({n}\)が大きくなると、\(1.96\times\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}\)の値が小さくなるので信頼区間の幅は狭くなりますね。

サンプルサイズが大きい方が、精度の高い推定となるのでイメージ通りではないでしょうか!

95%信頼区間の計算方法は以上となります!

ウマたん
ウマたん
一見複雑そうに見えたけど計算の流れは意外とシンプルだね!

ちなみに、90%信頼区間の場合の係数の値は1.96ではなく”1.64”、99%信頼区間の場合の係数の値は”2.58”になります。

t分布表というのを参照すると、これらの係数の値の対応が確認できます!

これらの係数と信頼区間を求める式からも、90%→99%などと%が上がると信頼区間の幅が広がることがわかります!

区間推定 まとめ

Happy

本記事では、区間推定のイメージについてや信頼区間の具体的な計算方法についてまとめました!

区間推定を理解し求められるようになることで、標本に対する考え方やデータへの理解が深まることに繋がっていきます!

また、今回推定を行う過程で平均値を例として示しましたが、それ以外にも推定されるものはたくさんあります!

異なる群の平均値の差の推定、オッズ比、回帰分析をした際の傾き(回帰係数)などがその例になります!

そして、不偏分散や自由度について(t分布含む)まとめたこちらの記事も見ていただけるとより理解が深まると思います!

自由度 アイキャッチ
統計学における自由度について解説!不偏分散・t分布・カイ二乗分布の自由度とは?当サイト【スタビジ】の本記事では、自由度について解説してきます。自由度とは「自由に決めることのできるパラメータの数」と定義されており、主に検定などでよく使われている概念です!今回は自由度の定義とよく使われる例について解説します!...

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