ポアソン分布について図でわかりやすく解説！二項分布からの平均と分散の計算方法は？

こんにちは！

デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！

離散的な分布は数多くありますが、その中でもポアソン分布は非常に重要な分布です！

ポアソン分布は「単位時間当たり平均λ回起こるような事象が単位時間にk回発生する分布」を表しています。より簡単に言うと、「ランダムなイベントがある期間で何回発生するかの確率を示す分布」とも言えるでしょう！

この記事では、そんなポアソン分布の定義を解説をしながらもその性質について解説していきます。またPythonでポアソン分布を確認してみましょう！

以下のYoutube動画でも詳しく解説しているのであわせてチェックしてみてください！

 ベルヌーイ試行と二項分布とは？

ベルヌーイ試行は「コインを投げたときに表か裏しか出ないような、イベントが発生した結果が2通りしかない試行」のことを指します！

$P(X=1)$ = $p$

$P(X=0)$ = $1-p$

そして二項分布は「ベルヌーイ試行をn回繰り返して、成功する回数Xが従う確率分布」を表しています！

$P(X=k)$ = ${}_n\mathrm{C}_k p^{k} (1-p)^{n-k}$

二項分布とポアソン分布の関係とは？

先程の飛行機の例を使って二項分布とポアソン分布の関係性を見ていきましょう！

10年間、すなわちn=3650日とし、1日に飛行機が落ちる確率pを0.0001としましょう。

$P(X=k)$ = ${3650\choose k} (0.0001)^{k} (1-0.0001)^{3650-k}$

そこで$np$=$\lambda$としてみましょう！そうすると$p$=$\frac{\lambda}{n}$となることが分かりますね。

$P(X=k)$ = $\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}$

=$\frac{\lambda^{k}}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}\frac{n!}{(n-k)!n^{k}}$

この式をnが非常に大きい、つまりn→∞にしたらどうなるでしょうか…？これは$np$=$\lambda$として、nを十分大きくしてpを十分小さくした場合の二項分布の式、すなわちポアソン分布に近似することが分かっています！

$P(X=k)$ = $e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

ポアソン分布の定義と性質とは？

ポアソン分布の式は以下の通りとなります！

$P(X=k)$ = $e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

お気づきの方も多いかもしれませんが、ポアソン分布を使う場面はたくさんあることが知られています！

これも先程の飛行機の例を使ってみましょう！

まず$\lambda$=$np$=3650×0.0001 = 0.365となりますので、この値を先程の式に代入してみましょう！

$P(X=k)$ = $e^{-0.365}\frac{0.365^{k}}{k!}$

またポアソン分布の期待値・分散は以下の通りとなります！

$E(X)$ =$\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

= $\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k+1}}{k!}$

= $\lambda \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

= $\lambda$

$E(X^{2})$ = $\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

=$\sum_{k=1}^{\infty}(k(k-1)+k)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

$\sum_{k=1}^{\infty}(k(k-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$ + $\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$

= $\lambda^{2}+\lambda$

$V(X)$ = $E(X^{2})$ – $E(X)^{2}$から、

$V(X)$ = $\lambda^{2}+\lambda$ -$\lambda^{2}$ = $\lambda$

実際にポアソン分布をPythonで見てみよう！

それでは実際にPythonを用いてポアソン分布を見てみましょう！

ポアソン分布はScipy.stasライブラリのpoisson関数から作成することができます！

実際にポアソン分布のパラメータである$\lambda$を0.1, 1, 5, 10と変化させた場合の確率密度関数を見てみましょう！

import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

# 確率変数
x = np.arange(0, 20)

# ポアソン分布
y_1 = poisson.pmf(x,0.1)
y_2 = poisson.pmf(x,1)
y_3 = poisson.pmf(x, 5)
y_4 = poisson.pmf(x,10)
plt.plot(x, y_1,label="lambda:0.1")
plt.plot(x, y_2,label="lambda:1")
plt.plot(x, y_3,label="lambda:5")
plt.plot(x, y_4,label="lambda:10")
plt.legend()
plt.show()

ポアソン分布　まとめ

ここまでご覧いただきありがとうございました！

本記事ではポアソン分布についてまとめました！

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