統計学

ポアソン分布について図で分かりやすく解説!二項分布から平均と分散の計算方法は?

ポアソン分布
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ウマたん
ウマたん
当サイト【スタビジ】の本記事では、ポアソン分布について解説していきます!ポアソン分布とは、ある事象が一定の時間に発生する回数を示す離散的な分布の1つであり、単位時間当たり平均λ回起こるような事象が単位時間にk回発生する分布を表しています!今回はポアソン分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素も解説していきます。

こんにちは!

デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です!

離散的な分布は数多くありますが、その中でもポアソン分布は非常に重要な分布です!

ポアソン分布は「単位時間当たり平均λ回起こるような事象が単位時間にk回発生する分布」を表しています。より簡単に言うと、「ランダムなイベントがある期間で何回発生するかの確率を示す分布」とも言えるでしょう!

ウマたん
ウマたん
例えば10年間で飛行機が墜落する事象は何回発生するか調べたいときに使えるね!(ちょっと物騒だけど…)

この記事では、そんなポアソン分布の定義を解説をしながらもその性質について解説していきます。またPythonでポアソン分布を確認してみましょう!

・ポアソン分布の定義について解説!
・ポアソン分布の性質について解説!
・Pythonでポアソン分布を見てみよう!

以下のYoutube動画でも詳しく解説しているのであわせてチェックしてみてください!

 ベルヌーイ試行と二項分布とは?

Stories
ロボたん
ロボたん
それじゃあ早速ポアソン分布の解説を…と思ったらベルヌーイ試行と二項分布?
ウマたん
ウマたん
ベルヌーイ試行と二項分布はポアソン分布を説明するのに欠かせない要素だから先に説明するね!
ベルヌーイ試行と二項分布

ベルヌーイ試行は「コインを投げたときに表か裏しか出ないような、イベントが発生した結果が2通りしかない試行」のことを指します!

ウマたん
ウマたん
ベルヌーイ試行の式は以下の通りとなるね!pは成功する確率を表し、その時の確率変数Xは1をとるとするよ。

\(P(X=1)\) = \(p\)

\(P(X=0)\) = \(1-p\)

そして二項分布は「ベルヌーイ試行をn回繰り返して、成功する回数Xが従う確率分布」を表しています!

ウマたん
ウマたん
n回ベルヌーイ試行をして成功する回数がk回である確率は以下の通りに示すことができるよ!

\(P(X=k)\) = \({}_n\mathrm{C}_k p^{k} (1-p)^{n-k}\)

ロボたん
ロボたん
二項分布の意味は分かったけど、ポアソン分布とはどんな関係があるの?
ウマたん
ウマたん
ベルヌーイ試行と二項分布はポアソン分布を説明するのに欠かせない要素だから先に説明するね!

二項分布とポアソン分布の関係とは?

stories data

先程の飛行機の例を使って二項分布とポアソン分布の関係性を見ていきましょう!

10年間、すなわちn=3650日とし、1日に飛行機が落ちる確率pを0.0001としましょう。

ウマたん
ウマたん
先程の二項分布の式に当てはめてみると…?

\(P(X=k)\) = \({3650\choose k} (0.0001)^{k} (1-0.0001)^{3650-k}\)

ロボたん
ロボたん
nが大きくてpが小さいと、計算時間がすごいかかるね…
ウマたん
ウマたん
こうなってしまうと計算がものすごく複雑になることが分かるね。

そこで\(np\)=\(\lambda\)としてみましょう!そうすると\(p\)=\(\frac{\lambda}{n}\)となることが分かりますね。

ウマたん
ウマたん
\(p\)=\(\frac{\lambda}{n}\)を二項分布の式に代入してみましょう!

\(P(X=k)\) = \(\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}\)

=\(\frac{\lambda^{k}}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}\frac{n!}{(n-k)!n^{k}}\)

この式をnが非常に大きい、つまりn→∞にしたらどうなるでしょうか…?これは\(np\)=\(\lambda\)として、nを十分大きくしてpを十分小さくした場合の二項分布の式、すなわちポアソン分布に近似することが分かっています!

ウマたん
ウマたん
この式がポアソン分布の式になります!

\(P(X=k)\) = \(e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

ポアソン分布の定義と性質とは?

Goal

ポアソン分布の式は以下の通りとなります!

\(P(X=k)\) = \(e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

お気づきの方も多いかもしれませんが、ポアソン分布を使う場面はたくさんあることが知られています!

ポアソン分布の例

これも先程の飛行機の例を使ってみましょう!

まず\(\lambda\)=\(np\)=3650×0.0001 = 0.365となりますので、この値を先程の式に代入してみましょう!

\(P(X=k)\) = \(e^{-0.365}\frac{0.365^{k}}{k!}\)

ロボたん
ロボたん
これなら計算時間もかからずにできそうだね!
ウマたん
ウマたん
その通り!ポアソン分布はnが非常に大きく、かつpが非常に小さいときに用いられる分布なんだ!

またポアソン分布の期待値・分散は以下の通りとなります!

\(E(X)\) =\(\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

= \(\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k+1}}{k!}\)

= \(\lambda \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

= \(\lambda\)

\(E(X^{2})\) = \(\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

=\(\sum_{k=1}^{\infty}(k(k-1)+k)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

\(\sum_{k=1}^{\infty}(k(k-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\) + \(\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\)

= \(\lambda^{2}+\lambda\)

\(V(X)\) = \(E(X^{2})\) – \(E(X)^{2}\)から、

\(V(X)\) = \(\lambda^{2}+\lambda\) -\(\lambda^{2}\) = \(\lambda\)

ウマたん
ウマたん
ポアソン分布の平均・分散は\(\lambda\)であり、同じであることが分かるね!

実際にポアソン分布をPythonで見てみよう!

stories pc

それでは実際にPythonを用いてポアソン分布を見てみましょう!

ポアソン分布はScipy.stasライブラリのpoisson関数から作成することができます!

実際にポアソン分布のパラメータである\(\lambda\)を0.1, 1, 5, 10と変化させた場合の確率密度関数を見てみましょう!

import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

# 確率変数
x = np.arange(0, 20)

# ポアソン分布
y_1 = poisson.pmf(x,0.1)
y_2 = poisson.pmf(x,1)
y_3 = poisson.pmf(x, 5)
y_4 = poisson.pmf(x,10)
plt.plot(x, y_1,label="lambda:0.1")
plt.plot(x, y_2,label="lambda:1")
plt.plot(x, y_3,label="lambda:5")
plt.plot(x, y_4,label="lambda:10")
plt.legend()
plt.show()
ウマたん
ウマたん
結果を見ると、パラメータの値によって分布がかなり変化していることが分かるね!
結果

ポアソン分布 まとめ

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本記事ではポアソン分布についてまとめました!

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ウマたん
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