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一様分布について解説!定義と平均・分散の導出について!

一様分布 アイキャッチ
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ウマたん
ウマたん
当サイト【スタビジ】の本記事では、一様分布について解説していきます!一様分布は代表的な離散的分布の一つでもあり、連続的分布の一つでもある基本的な分布です。今回は一様分布の定義を解説しつつ、平均・分散といった基本的な要素も解説していきます。

こんにちは!

デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です!

確率分布といっても多種多様にありますが、一様分布は離散的・連続的両方の分布を持っています!

一様分布は「全ての事象が等確率で現れる確率分布」を表しています。具体例を出すとサイコロの目1~6は等確率、6分の1なのでサイコロを振る確率分布は一様分布に従っているとも言えるでしょう!

ウマたん
ウマたん
この性質は離散的な値や連続的な値両方に適用できるんだ!今回は二つの性質を見比べながらしっかり理解していこう!

この記事では、そんな一様分布の定義を解説をしながらもその性質について解説していきます。またPythonで一様分布を確認してみましょう!

・一様分布の定義について解説!
・一様分布の性質について解説!
・Pythonで一様分布を見てみよう!

一様分布について以下のYoutube動画でも解説しているのであわせてチェックしてみてください!

離散型一様分布の定義について解説!

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ロボたん
ロボたん
早速離散型の一様分布の解説だね!確認だけど離散型っていうのはどんな意味なの?
ウマたん
ウマたん
離散型は確率変数がとびとびの値を示す場合を指すよ!例えばサイコロは1,2,3,4,5,6の目があるけど1.2や5.5といった目はないし、人数は1人2人と数えるけど1.5人と数えることもないことが分かるよね!このような場合は確率変数が離散型であると言うんだ!
離散型確率変数

これを踏まえると、離散型一様分布は「確率変数が離散型である場合の全ての事象が等確率で現れる確率分布」と定義できるね!

ウマたん
ウマたん
離散型一様分布の式はこちら!かなりシンプルで分かりやすい式であることが分かるね。そして離散型一様分布の図はこのような形になるんだ!

\(P(X=k)\) = \(\frac{1}{N}\) \((k=1,…,N)\)

離散一様分布

次に期待値と分散の算出を解説します!

\(E(X)\) = \(\sum_{k=1}^{N}k\frac{1}{N}\) = \(\frac{1}{N} \frac{N(N+1)}{2}\) = \(\frac{N+1}{2}\)

\(V(X)\) = \(E(X^{2}) – E(X)^{2}\) = \(\sum_{k=1}^{N}k^{2}\frac{1}{N}\) – \((\frac{N+1}{2})^{2}\)

= \(\frac{1}{N}\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} – \frac{(N+1)(N+1)}{4}\) = \(\frac{(4N^{2}+6N+2)-(3N^{2}+6N+3)}{12}\)

= \(\frac{N^{2}-1}{12}\)

連続型離散分布について解説!

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ロボたん
ロボたん
次は連続型の一様分布の解説だね!ちなみに連続型はどんな確率変数になるの?
ウマたん
ウマたん
連続型は離散型とは違って、値が連続的に続くものなんだ!例えば重さは50kgや50.0000001kgといったところまで表すことができるし、気温も35℃から35.5℃と細かく表すことができると分かるね!このような場合は確率変数が連続型であると言うんだ!
連続型確率変数

これを踏まえると、連続型一様分布は「確率変数が連続型である場合の全ての事象が等確率で現れる確率分布」と定義できるね!

ウマたん
ウマたん
連続型一様分布の式はこちら!離散型一様分布と同じくらいシンプルだけど、少し異なる部分もあることに注意だ!そして連続型一様分布の図は以下の通り!

\(f(X)\) = \(\frac{1}{b-a}\) \((a<=X<=b)\)

\(f(X)\) = \(0\) \((X<a, X>b)\)

連続型一様分布

次に期待値と分散の算出を解説します!

\(E(X)\)=\(\int_a^b \frac{1}{b-a}x dx\)=\(\frac{1}{b-a} \left[\frac{x^{2}}{2} \right]_a^b\) = \(\frac{b+a}{2}\)

\(V(X)\)=\(E(X^{2}) – E(X)^{2}\)=\(\int_a^b \frac{1}{b-a}x^{2} dx\) – \((\frac{b+a}{2})^{2}\) = \(\frac{1}{b-a} \left[\frac{x^{3}}{3} \right]_a^b\)-\((\frac{b+a}{2})^{2}\)

=\(\frac{1}{b-a}\frac{(b-a)(a^{2}+ab+b^{2})}{3}\)-\(\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}\)=\(\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{12}\)

=\(\frac{(b-a)^{2}}{12}\)

実際に一様分布をPythonで実装!

stories pc

それでは実際に一様分布をPythonで実装していきましょう!

離散型一様分布はNumpy.randomのrandint関数、連続型一様分布はNumpy.randomのuniform関数で実装できます!

from numpy.random import randint,uniform
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

#データ生成
X = randint(0,100,100000)
Y = uniform(0,100,100000)
print(X)
print(Y)

#描画
fig,ax = plt.subplots(1,2,figsize=(10,3))
ax[0].hist(X)
ax[1].hist(Y)
plt.show()
ウマたん
ウマたん
実行結果はこちら!確率変数が離散型、連続型両方の乱数を生成できていることが分かるね!
一様分布 python

一様分布 まとめ

stories data

本記事では一様分布についてまとめました!

一様分布について理解できた方は、離散型分布の代表である二項分布ポアソン分布を勉強すると良いでしょう!

二項分布 アイキャッチ
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ウマたん
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