こんにちは！
データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！
今回は相関係数と共分散について解説していきます！
相関係数・共分散とは「二組の対応するデータの関係性」と定義されています。
相関係数あるいは共分散を見ることで、二組の対応しているデータ同士がどのような挙動を行うか見ることができます。
この記事では、共分散の定義と相関係数との関係について解説します！
・共分散の定義について解説！
・共分散と相関係数の関係について解説！
共分散の求め方について解説！
早速、共分散を見ていきましょう！2つのデータ\(x,y\)の共分散の求め方は以下の通りとなります。
\(cov(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)
この式は「\(x\)の偏差と\(y\)の偏差を掛けた平均」と考えれられますね！
なぜこの式が2組の対応したデータの関係性を表すのでしょうか？これを図で見てみましょう！
この図を見ると、共分散が正の時は「\(x\)が大きいときは\(y\)も大きい」、共分散が0に近いときは「\(x\)と\(y\)には関係性がない」、共分散が負の時は「\(x\)が小さいときは\(y\)は大きい」と分かりますね！
確率変数\(X,Y\)としたときの共分散の式も見ておきましょう！
\(Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)\)
共分散と相関係数との関係について解説！
次に共分散と相関係数との関係について解説します。
相関係数について勉強した人は、相関係数は共分散と同様「二組の対応したデータの関係性」と理解していると思いますが、どのような点が異なるのでしょうか？
共分散の弱点として「二組の対応したデータの単位が異なると解釈が難しい」という問題が挙げられます。図で見てみましょう！
このように１００点満点のテスト同士で見た共分散と１０点満点で見た共分散は全く異なる値になることがわかると思います！このように単位が変動すると共分散の値も異なるため注意が必要です。
この共分散の弱点を克服したものが相関係数です。相関係数の式は以下の通りです。
\(ρ(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}}}\)
この式を見ると相関係数は共分散を各データの標準偏差で割っていることが分かりますね！実際、各データの標準偏差で割ることで相関係数は\(-1と1\)の間で変化するようになるため、上記の問題が解消されます！
共分散 まとめ
本記事では共分散についてまとめました！
共分散とかかわりが深い偏相関係数や平均値はこちらの記事を見てみましょう！
また相関係数と混同されやすい因果効果についても見ると良いでしょう！
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