偏相関係数の求め方！相関係数との違いについてわかりやすく解説！

こんにちは！

データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！

今回は偏相関係数について解説していきます！

偏相関係数とは「ある変数の影響を除去したうえでの２変数の相関係数」と定義されています。

統計学を勉強している際に出てくる単語として疑似相関を聞いたことがあると思いますが、これこそ、ある変数の影響を受けてしまって相関係数が正しく推定できない例となります！

この記事では、偏相関係数の定義と相関係数の違いについて解説します！

統計学の用語やその他のAI用語を一挙にまとめた以下の記事も合わせて要チェックです！

【これだけはおさえておきたい！】ビジネスで役立つAI用語45選まとめ！当サイト【スタビジ】の本記事では、ディープラーニング系/機械学習系/統計学系の3つのカテゴリに分けて重要な用語を説明していきます！

以下のYoutube動画でも解説していますので合わせてチェックしてみてください！

偏相関係数について解説！

偏相関係数とは「ある変数の影響を除去したうえでの２変数の相関係数」と定義されています。

このような例題を考えてみましょう！

この時、「足の遅さ」は「年収」と高い相関係数があるため「そうか！足を遅くすれば年収が上がるんだ！」となるのは少し早計です。

図を見るとわかる通り、「年齢」は「年収」「足の遅さ」両方と比例しているのでこちらは妥当であると考えられます！

したがって「足の遅さ」が「年収」と相関がある原因は、他の変数同士の相関係数の影響を受けていることになります！

したがってこのような状況では、相関係数の推定が正確にできないことがわかりますね！この解決策が偏相関係数なのです！

$r_{xy・z}=\frac{r_{xy}-r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{1-r^{2}_{xz}}\sqrt{1-r^{2}_{yz}}}$

この式に各変数同士の相関係数を代入してみましょう！そうすると…

$r_{足の遅さ、年収・年齢}=\frac{0.7-0.8×0.9}{\sqrt{1-0.8^{2}}\sqrt{1-0.9^{2}}}=-0.111$

このように「年収」と「足の遅さ」の偏相関係数はかなり低いことがわかりましたね！

Pythonで偏相関係数を見てみよう！

実際にPythonで偏相関係数を見てみましょう！

今回は正規分布に従う変数$x$を作成し、$y,z = 10x + e$といった２変数を作成します。$e$はノイズを示しており、一様分布U(-1,1)に従うものとします。

したがって本来であれば$y$と$z$に関係性はないはずです！実際に見ていきましょう！

またPingouinパッケージのpcorr関数を用いて、偏相関係数を算出します！

``

import numpy as np
import pandas as pd
import pingouin as pg

x = np.random.randn(10000)
y = 10*x + np.random.uniform(-1,1,10000)
z = 10*x + np.random.uniform(-1,1,10000)
df = pd.DataFrame({"x":x,"y":y,"z":z})
print("相関係数:\n{}".format(df.corr()))
print("偏相関係数:\n{}".format(pg.pcorr(df)))

相関係数を見てみると$y$と$z$の相関係数は0.966とほぼ１に近い相関係数になりますが、偏相関係数で見ると0.001と全く相関のない変数同士であることがわかりました！

偏相関係数　まとめ

ここまでご覧いただきありがとうございました！

本記事では偏相関係数についてまとめました！

偏相関係数だけでなく、相関係数と因果関係の違いについても学ぶと良いでしょう！

相関関係と因果関係の違いについて例を挙げながら簡単に解説していく！当サイト【スタビジ】の本記事では、相関関係と因果関係の違いについて具体的な例を挙げながら分かりやすく簡単に解説していきます。相関関係と因果関係はビジネスシーンでつきまとう非常に重要な概念。違いについて明確に理解しておきましょう！

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