ガンマ分布と指数分布について解説！期待値・分散の基本的な性質について！

こんにちは！

デジタルマーケター兼データサイエンティストのウマたん(@statistics1012)です！

今回はガンマ分布と指数分布について解説していきます。こちらは正規分布と同様、確率変数が連続型である場合の確率分布です。

特にガンマ分布はある単位時間に1回起こる事象が実際に数回起きるまでの時間を表しています！

例えばエイズの潜伏期間、製品の寿命、行列の待ち時間といった日常的に起こる事象に用いられることが多い分布です。

またガンマ分布は指数分布を一般化したものであるため、ガンマ分布を理解すれば指数分布についての理解も深まります！

この記事では、そんなガンマ分布・指数分布の定義とその性質について解説していきながらPythonで実装していきます！

以下のYoutube動画でも詳しく解説していますのであわせてチェックしてみてください！

ガンマ分布について解説！

$f(x)$ = \frac{1}{β^{α}\Gamma{(α)}}$$x^{α-1}e^{-\frac{x}{β}} $(x>=0)$

$f(x)$ = 0 $(x<0)$

$\Gamma{(α)}$ = $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{α-1}e^{-x} dx$

$\Gamma{(α)}$ = $(α-1)!$

指数分布について解説！

$f(x)$ = $\frac{1}{β}e^{-\frac{x}{β}}$ $(x>=0)$

$f(x)$ = 0 $(x<0)$

$f(x)$ = $λe^{-λx}$　$(x>=0)$

$f(x)$ = 0 $(x<0)$

ガンマ分布・指数分布の期待値・分散について解説！

$E(X)$ = \frac{1}{β\Gamma{(α)}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} xx^{α-1}e^{-x} dx = \frac{β^{α+1}\Gamma{(α+1)}}{β^{α}\Gamma{α}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{β^{α+1}\Gamma{α+1}}$$x^{α}e^{-\frac{x}{β}} dx = $αβ$

$V(X)$ = $E(X^{2})$-$E(X)^{2}$ = \frac{1}{β\Gamma{(α)}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2}x^{α-1}e^{-x} dx – $(αβ)^{2}$=

\frac{β^{α+2}\Gamma{(α+2)}}{β^{α}\Gamma{(α)}}$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{β^{α+2}\Gamma{(α+2)}}$$x^{α+1}e^{-\frac{x}{β}} dx – $(αβ)^{2}$ = $(α+1)αβ^{2}$ – $(αβ)^{2}$ = $αβ^{2}$

$E(X)$ = $β$

$V(X)$ = $β^{2}$

ガンマ分布・指数分布をPythonで実装してみよう！

それでは実際にガンマ分布・指数分布をPythonで実装してみましょう！

今回はscipy.stasのgamma関数を用いてガンマ分布・指数分布の分布を作成します！

import numpy as np
from scipy.stats import gamma
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

a_1 = 100.0
a_2 = 1.0
b_1 = 0.10
b_2 = 1.0
x = np.linspace(0,50,250)
y_1 = gamma.pdf(x=x, a=a_1, scale = 1.0/b_1)
y_2 = gamma.pdf(x=x, a=a_2, scale = 1.0/b_2)
y_3 = gamma.pdf(x=x, a=a_1, scale = 1.0/b_1)
y_4 = gamma.pdf(x=x, a=a_2, scale = 1.0/b_1)

fig, axes = plt.subplots(2,2,figsize=(12,6))
axes[0][0].plot(x, y_1,label="gamma:alpha 10, beta 10")
axes[0][0].legend()
axes[0][1].plot(x,y_2,label="gamma: alpha 1, beta 10")
axes[0][1].legend()
axes[1][0].plot(x,y_3,label="exponential: alpha 10, beta 1")
axes[1][0].legend()
axes[1][1].plot(x,y_4,label="exponential: alpha 1 beta 1")
axes[1][1].legend()
plt.show()

ガンマ分布・指数分布　まとめ

本記事ではガンマ分布と指数分布についてまとめました！

ガンマ分布・指数分布について理解できた方は、離散型分布の代表である一様分布、二項分布とポアソン分布，正規分布を勉強すると良いでしょう！

確率分布は様々なものがあり、データや目的によって適切に使うことで初めて効果が表れる非常に優れたツールであると考えられます！確率分布だけでなく、統計学の知識やデータサイエンスの知識を得ることで、今までにない知見を身に付けることができます！

そうしたデータサイエンスの力を身に付けるためにはスタビジの記事やスクールを活用すると良いでしょう。

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