こんにちは！
スタビジ編集部です！
今回は偏回帰係数・標準偏回帰係数について解説していきます！
偏回帰係数・標準偏回帰係数は回帰分析における変数の係数（回帰係数）の１種であり、普通の回帰係数とは異なる意味を持ったものとなります。
この記事では、偏回帰係数・標準偏回帰係数の意味・定義式について解説していきます！
・偏回帰係数について解説！
・標準偏回帰係数について解説！
偏回帰係数の定義と求め方について解説！
まず偏回帰係数について解説していきます！
偏回帰係数とは「重回帰分析における変数の係数」と定義されています。
もっと詳しく言うと「ある一つの変数以外を固定し、その一つの変数を１単位増加/減少した際に、目的変数がどれだけ増加/減少するか」を意味します。
つまり他の変数の影響を除外したときの変数の重みと考えることができます！
次は求め方について解説します。（ここでは説明変数が2個の場合を考えます）
重回帰分析は最小二乗法による最適化によって偏回帰係数を求めていきます。したがって、残差平方和を最小にする偏回帰係数を求めていきます。
\(S_{e}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-(\hat{β_{0}}+\hat{β_{1}}x_{i1}+\hat{β_{2}}x_{i2})^{2})\)
この残差平方和\(S_{e}\)を\(\hat{β_{0}},\hat{β_{1}},\hat{β_{2}}\)で偏微分し、最終的には以下のような偏回帰係数が求められます。ただし\(S_{11},S_{12},S_{22},S_{1y},S_{2y}\)は各変数の平方和を示しています。
\(S_{11}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i1}-\bar{x_{1}})^{2}\)
\(S_{12}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i1}-\bar{x_{1}})(x_{i2}-\bar{x_{2}})\)
\(S_{22}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i2}-\bar{x_{2}})^{2}\)
\(S_{y1}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i1}-\bar{x_{1}})(y_{i}-\bar{y})\)
\(S_{y2}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i2}-\bar{x_{2}})(y_{i}-\bar{y})\)
そして\(\hat{β_{0}},\hat{β_{1}},\hat{β_{2}}\)は以下の通りです！
\(\hat{β_{0}}=\bar{y}-\hat{β_{0}}\bar{x_{1}}-\hat{β_{2}}\bar{x_{2}}\)
\(\hat{β_{1}}=\frac{1}{S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}}(S_{22}S_{1y}-S_{12}S_{2y})\)
\(\hat{β_{2}}=\frac{1}{S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}}(-S_{12}S_{1y}+S_{11}S_{2y})\)
標準偏回帰係数の定義と求め方について解説！
次は標準偏回帰係数を解説していきますが、その前に偏回帰係数の弱点について解説していきます！
偏回帰係数の弱点はずばり、各変数の偏回帰係数の大小を比較することができない点が挙げられます。
例を見ていきましょう！重回帰式\(y_{i}=β_{1}x_{1}+β_{2}x_{2}+ε_{i}(i=1,2,…,n)\)から偏回帰係数\(\hat{β_{1}},\hat{β_{2}}\)を算出したとします。
説明変数\(x_{1}\)は体重(kg)を意味していますが、\(x_{1}\)の単位をgに変換して求めた偏回帰係数を\(\hat{β’_{1}},\hat{β’_{2}}\)とします。
この時、\(\hat{β’_{1}}=\frac{\hat{β_{1}}}{1000}\), \( \hat{β’_{2}}=\hat{β_{2}}\)が成立することが分かります。
したがって、ある説明変数をa倍したらその係数は\(\frac{1}{a}\)倍になり、sの他の説明変数に影響はないとわかります！
そうなると、「各変数は単位が異なるし、単位を変更すると偏回帰係数の大きさも変化してしまうので偏回帰係数の大小の比較ができない」と考えることができますね！
これを解消したものが標準偏回帰係数となります。
標準偏回帰係数とは「各説明変数・目的変数を標準化した重回帰式で算出された偏回帰係数」と定義されています。
標準化を行うことで各変数の単位がなくなるため、標準偏回帰係数は大小を比較することができます！
次は標準偏回帰係数\(b_{0},b_{1}\)の求め方です。（ここでも説明変数が2個の場合を考えます）
まず各変数に対して標準化を行います。ただし\(\bar{y},\bar{x_{1}},\bar{x_{2}}\)は各変数の平均、\(s_{y},s_{x_{1}},s_{x_{2}}\)は各変数の標準偏差を示しています。
\(u_{iy}=\frac{y_{i}-\bar{y}}{s_{y}},u_{i1}=\frac{x_{i1}-\bar{x_{1}}}{s_{x_{1}}},u_{i2}=\frac{x_{i2}-\bar{x_{2}}}{s_{x_{2}}}\)
これらの標準化された変数を予測式\(\hat{β_{0}}+\hat{β_{1}}x_{i1}+\hat{β_{2}}x_{i2}\)に代入して整理すると…
\(b_{1}=\hat{β_{1}}\frac{s_{x_{1}}}{s_{y}}\)
\(b_{2}=\hat{β_{2}}\frac{s_{x_{2}}}{s_{y}}\)
偏回帰係数・標準偏回帰係数 まとめ
本記事では偏回帰係数、標準偏回帰係数についてまとめました！
今回は回帰分析を使ったので、どのような手法なのか知りたい方はこちらもご覧ください！
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