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一般化線形モデルのポアソン回帰を分かりやすく解説しPythonで実装!

ポアソン回帰 サムネイル
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ウマたん
ウマたん
当サイト【スタビジ】の本記事では、一般化線形モデルの一種であるポアソン回帰について解説していきます!考え方や活用例を説明した後、Pythonで実装していきます!

こんにちは!スタビジ編集部です!

目的変数が連続量っぽいから、重回帰分析で予測をしよう!

こんな感じで、なんとなく重回帰分析を使っていませんか?

実は重回帰分析というのは線形モデルの一種であり、目的変数の分布に正規分布を仮定しているという制限があるのです。

ウマたん
ウマたん
正確には残差の分布が正規分布に従うことを仮定しているんだけど、目的変数の分布が正規分布であれば残差も正規分布であることがほとんどなので、以後は「目的変数の分布」としていきます!

そのため、目的変数が連続量のように見えるが実際は正の値しか取らないカウントデータであるとき、重回帰分析を行ってしまうとうまく予測ができない場合があります。

そんなときに有用なのがポアソン回帰分析!

目的変数がポアソン分布に従うときに使える、一般化線形モデルの一種です。

この記事では、そんなポアソン回帰分析について、機械学習との違いや活用例を交えて詳しく解説していきます!

ウマたん
ウマたん
線形モデル、一般化線形モデルの違いについてはこちらをチェック!
統計モデリングとは何か?線形モデルから階層ベイズまでを徹底解説当サイト【スタビジ】の本記事では、データを分析する上で非常に重要な統計モデリングという考え方についてまとめていきます。機械学習手法を使えばノンパラメトリックに解析できますが、もし背後に存在する分布を統計モデリングにより正しく推定できたなら爆発的な威力があるんです。...

ポアソン回帰とは

Content

ポアソン回帰とは、稀にしか起こらないような現象に関するカウントデータを分析するための手法です。

これは、そのような場合のカウントデータが近似的にポアソン分布に従うという性質を利用しています。

ロボたん
ロボたん
ポアソン分布ってなんだっけ?

ポアソン分布とは簡単に言うと、ある期間に平均λ回起こるような事象が一定期間にk回発生する確率の分布のことです。

下のグラフは、ポアソン分布のパラメータであるλの値を変化させたときの、分布の形をそれぞれ示しています。

縦軸は確率、横軸はk(確率変数)を表しています。

結果
ロボたん
ロボたん
λの値が大きくなるにつれて、正規分布の形に近づいてない?
ウマたん
ウマたん
良いところに気がついたね!

そうなんです。

実は、λが十分に大きいとき、ポアソン分布は正規分布に近似できるという性質があります。

そのため、目的変数の分布がそのような場合には重回帰分析を適用しても問題ありません。

しかし、例えばλ=1のときをみてみると、右裾が長く、かつ確率変数の値が正であるということがわかります。

これでは目的変数の分布が正規分布であると仮定している重回帰分析は使えませんよね。

そこで、ポアソン回帰分析を用いるというわけです。

ポアソン回帰の理論

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ここからはポアソン回帰の理論的な部分を説明していきます。

1. ポアソン回帰モデル

あるカウントデータ\(y_{i}\)が、平均\(\lambda_{i}\)のポアソン分布に従っているとします。

このとき、特定の\(y_{i}\)の値が生じる確率\(P(y_{i}|\lambda_{i})\)は、

\(\displaystyle P(y_{i}|\lambda_{i})=\frac{\lambda^{y_{i}}_{i}\exp(-\lambda_{i})}{y_{i}!}\)

と表すことができます。

ただし、

\(\displaystyle \lambda_{i}=\exp(X^T_{i}\beta)\)

であるとします(\(\lambda_{i}\)は複数の説明変数\(X^T_{i}\)とパラメータ\(\beta\)によって決定する、ということ)。

この式を対数変換すると、

\(\displaystyle \log\lambda_{i}=X^T_{i}\beta\)

となります。

ポアソン回帰では、上記の式に基づき\(\lambda_{i}\)を予測していきます。

つまり、パラメータ\(\beta\)を推定していくというわけです。

2. パラメータ\(\beta\)の推定

続いて、パラメータ\(\beta\)を推定していきます。

ポアソン回帰では、最尤法を用いてパラメータを推定していきます。

同時確率関数\(P(y_{1},y_{2},…,y_{n}|\lambda_{1},\lambda_{2},…,\lambda_{n})\)は

\begin{eqnarray*}
\displaystyle P(y_{1},y_{2},…,y_{n}|\lambda_{1},\lambda_{2},…,\lambda_{n}) &=&\prod_{i=1}^{n} P(y_{i}|\lambda_{i}) \\ &=&\prod_{i=1}^{n} \exp(y_{i}\log\lambda_{i}-\lambda_{i}-\log y_{i}!)\\ &=& \exp\left(\sum_{i=1}^{n}(y_{i}\log\lambda_{i}-\lambda_{i}-\log y_{i}!)\right)\\
\end{eqnarray*}

となるので、対数尤度関数は

\begin{eqnarray*}
\displaystyle \log L(\beta) &=& \log\left(\exp\left(\sum_{i=1}^{n}(y_{i}\log\lambda_{i}-\lambda_{i}-\log y_{i}!)\right)\right) \\ &=& \sum_{i=1}^{n}(y_{i}X^T_{i}\beta-\exp X^T_{i}\beta-\log y_{i}!) \\
\end{eqnarray*}

となります。

この対数尤度関数を\(\beta\)で偏微分していき、推定を行います。

この計算は式で綺麗に求めるのは難しいためニュートン法などの数値計算方法を用いる必要があります。

ポアソン回帰を行う際の注意点

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ここで、ポアソン回帰を行う際の注意点を2つ述べておきます。

1. カウントデータ=ポアソン回帰はNG

カウントデータであるからといって、むやみにポアソン回帰を適用させてはいけません。

ポアソン分布は、np=λのままでnを十分大きく、pを十分に小さくした場合の二項分布です。

つまり極限分布ですから、発生数はカウントできるものの、発生率の分母nが不特定多数または非常に膨大で、事実上無限大に近い時によく当てはまります。

例えば地震の発生件数や、飛行機墜落事故の発生件数などがポアソン分布への当てはまりが良いとして知られています。

一方で、医療分野におけるカウントデータ例として、一定時間内に疾患を発症した例数や疾患による死亡例数があります。

これらのカウントデータは、疾患を発症しない例数や疾患によって死亡しない例数を特定することができる、すなわち発生率の分母nを特定することが可能です。

ウマたん
ウマたん
特に臨床試験などでは、全体の例数nを指定して疾患の発症例数や死亡例数を観測するのが一般的なんだ!

つまり、このようなデータはポアソン分布に近似するとは言えないため、カウントデータではなく出現率や死亡率のデータとして扱い、ロジスティック回帰などを適用する必要があります。

2. ポアソン回帰の制約に注意

上でも述べたように、ポアソン回帰はポアソン分布を仮定した回帰モデルです。

つまり、目的変数の期待値と分散が等しいということを仮定しています(ポアソン分布の性質)。

しかし実際のデータでは、ポアソン分布に従うように見えても、過小分散であったり過分散であったりということがあります。

そのような場合、ポアソン回帰を適用したとしても当てはまりがよくないことがあるので気をつけましょう。

仮に過分散であることがわかった場合には、負の二項分布を仮定した回帰モデルを適用することがあります。

ロボたん
ロボたん
分析前に目的変数の分布を調べるのが重要ってことだな!
ウマたん
ウマたん
適合度検定などを行ってみるのもいいかもね!

ポアソン回帰の活用例

Business Plan

ここではポアソン回帰の適用例を3つ紹介していきます。

1. 交通データ

ポアソン回帰がよく適用される例として、交通事故の予測・要因分析があります。

交通事故の発生件数は、母数を一日の交通量と考えるならば稀にしか起こらない現象のカウントデータと考えることができ、大抵の場合ポアソン分布にも従います。

例えば、天候や周囲の交通状況などを説明変数として事故の発生件数を予測するモデルなどがあります。

ポアソン回帰 交通データ

2. スポーツデータ

スポーツデータに対しても、ポアソン回帰を用いることがあります。

特に有名なのが、サッカーの得失点の予測。

サッカーは得失点の少ないスポーツです。得点が決まる最小単位の時間を10秒と考えると、試合時間90分はそれに対して非常に長いです。つまり、サッカーにおける得失点は稀にしか起こらない現象のカウントデータと考えることができ、ポアソン分布への当てはまりが良い事例として知られています。

例えば、攻撃力や守備力を表す指標を説明変数として得失点を予測するモデルなどがあります。

ポアソン回帰 スポーツデータ

他にも、野球におけるヒット数やホームラン数などもポアソン分布への当てはまりが良い場合があります。

3. 購買データ

購買データに対しても、ポアソン回帰を用いることがあります。

例えば、ある商品の購入者数。

ある商品の購入者数は、母数を来店者数と考えるならば稀にしか起こらない現象のカウントデータと考えることができ、ポアソン分布への当てはまりが良い場合があります。

この場合、日付ごとの天候や商品の配置場所を説明変数として購入者数を予測するモデルなどが考えられます。

ポアソン回帰 購買データ

ポアソン回帰をPythonでやってみよう

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ここからは、Pythonで実際にポアソン回帰をやっていきます!

同時に通常の重回帰分析も行い、どちらの予測精度の方が良いかを確認します。

以下の流れで分析を進めていきます。

1. ライブラリのインストール
2. データの準備
3. 分析の準備
4. ポアソン回帰の実行
5. モデルの評価

1. ライブラリのインストール

今回はsklearnのPoissonRegressorを使ってポアソン回帰を行っていきます。

分析で使用する他のモジュール等もここで全てimportしておきます

#モジュール等のインポート
import urllib
from urllib import request
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import PoissonRegressor
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error

2. データの準備

今回はポルトガルの公立高校の生徒の成績データを使っていきます。

2005年から2006年の実データ(N = 649)で、家庭環境や欠席傾向に関するデータが格納されています。

#データの準備
url = 'https://raw.githubusercontent.com/okeefj22/CA4010-data-project/master/datasets/student-por.csv'
data_path = 'data.csv'
urllib.request.urlretrieve(url, data_path)

#データの読み込み
df = pd.read_csv('data.csv')
df.head(5)
ポアソン回帰 データ

3. 分析の準備

今回は1年間の欠席の回数(absences)を目的変数として分析を行っていきます。

目的変数のヒストグラムがこちら。

ポアソン回帰 ヒストグラム

右裾が長い分布となっており、正規分布よりもポアソン分布に近い形になっていることがわかります。

続いて、分析に使うデータを選択し、学習データとテストデータに分けていきます。

特徴量として、性別(sex)、年齢(age)、住所(address)、父親の学歴(Fedu)、勉強時間(studytime)、家族との関係性(famrel)を使用します。

#使用する変数のみのデータフレームを作成
data_df = df[['sex','age','address','Fedu','studytime','famrel','absences']]

#カテゴリ変数のダミー変数化
data_df = pd.get_dummies(data_df, drop_first=True)

#特徴量と目的変数に分ける
X = data_df.drop('absences', axis=1) #特徴量
y = data_df['absences'] # 目的変数

# データの分割
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 分割後のデータのサイズを確認
print("Training data size:", X_train.shape, y_train.shape)
print("Testing data size:", X_test.shape, y_test.shape)

4. ポアソン回帰の実行

学習データを使って回帰モデルを作成し、テストデータを使ってその精度を確認します。

なお、比較のため、重回帰分析も行います。

#ポアソン回帰の実行
pr = PoissonRegressor()
pr.fit(X_train, y_train)
y_pr_predict = pr.predict(X_test)

#重回帰分析の実行
lr = LinearRegression()
lr.fit(X_train, y_train)
y_lr_predict = lr.predict(X_test)

5. モデルの評価

両者のモデルの評価はMSE(平均二乗誤差)を用いて行います。

MSEとはその名の通り、予測値と正解値の差の二乗の平均のことです。

値が小さいほど誤差の少ない良いモデルと言えます。

#モデルの評価
evaluation = pd.DataFrame()
evaluation.loc['Poisson Regression', 'mse'] = mean_squared_error(y_test, y_pr_predict)
evaluation.loc['Linear Regression', 'mse'] = mean_squared_error(y_test, y_lr_predict)
evaluation
ポアソン回帰 mse

若干ですが、ポアソン回帰のMSEの方が小さくなりました。

つまり、ポアソン回帰の方が当てはまりの良いモデル(予測精度が高い)と言えます。

特徴量選択をより丁寧に行えば、さらに良い結果が得られるでしょう。

まとめ

今回はポアソン回帰の概要からPythonでの実装方法まで解説していきました。

近年は様々な機械学習手法が発展してきたこともあり、変数の分布も特に考慮せず分析を始めがちですが、しっかりと分布を確認することでより良い結果が得られることが多々あります。

手元のデータを分析する場合、分布を確認し、最適な分析手法を選択するということを心がけていきましょう!

また、今回分析に用いたPythonについて勉強したい方は以下の記事を参考にしてみてください!

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【Python独学勉強法】Python入門を3ヶ月で習得できる学習ロードマップ当サイト【スタビジ】の本記事では、過去僕自身がPythonを独学を駆使しながら習得した経験をもとにPythonを効率よく勉強する方法を具体的なコード付き実装例と合わせてまとめていきます。Pythonはできることが幅広いので自分のやりたいことを明確にして勉強法を選ぶことが大事です。...

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