ロジスティック回帰

一般化線形モデルの一つである、ロジスティック回帰について説明します。
ロジスティック回帰は多変量解析という分野以外に機械学習という枠組みでも基本的な手法として出てきます。おそらく、線形回帰の次に学ぶ方が多い手法だと思います。
ここでは、
・ロジスティック回帰を用いる場面
・出てくる用語
・計算の仕方
についてまとめていきます。

適用場面
モデル
\(\beta\)の推定方法
- 重み付き最小二乗法
- 最尤法
結果の解釈
まとめ

適用場面

回帰分析のページで説明したデータは目的変数に負の値でも正の値でもとる連続変量を考えていました。より、正確にいうと線形回帰において説明変数\(x_i\)を与えた時の\(y_i\)の条件付き分布には正規分布を仮定しています。
しかし、世の中には、「100人中70人の病気が治った。」や「ある会社が倒産したかどうか」などの割合データや二値データが存在します。どちらも、値は0から1の範囲しかとりません。この時、線形回帰を行うとどうなるでしょうか。推定された目的変数は負の値になったり1を超える場合もあり、扱いに困ってしまいます。
そんな時に用いる方法がロジスティック回帰です。

モデル

ロジスティック回帰が用いられる場面は目的変数が二値もしくは割合データの場合です。
二値や割合データが従う分布として最も考えられやすいものは二項分布です。
例えば、「\(m_i\)個体中\(y_i\)個体が生存した」というデータは、\(B(m_i,p_i)\)に従うと考えます。この時、\(p_i\)が未知パラメータになります。
この\(p_i\)と\({\bf x}^T\beta\)(線形予測子と呼びます。)を紐付ける関数を考えてみましょう。
\(p_i\)は0から1の範囲の値しか取らないので、\({\bf x}_i^T\beta\)が正の無限大になっても負の無限大になっても0~1の範囲に収まっており、また、単調な関数が良いです。そこで、次の様な関数を用いて\(p_i\)と紐付けます。
\begin{eqnarray*}
p_i&=&\frac{1}{1+exp(-{\bf x}_i^T\beta)}\\
\end{eqnarray*}
この右辺の関数のことをロジスティック関数と呼びます（だからロジスティック回帰）。
こうすることで、\(\beta\)を求めれば\(p_i\)が分かり、\(y_i\)の従う分布を把握できる様になりました。
では次に、どの様にして\(\beta\)を求めていくかを考えていきます。
先ほどの式を右辺が\({\bf x}_i^T\beta\)だけになる様に変換すると下の式の様になります。
\begin{eqnarray*}
log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)&=&{\bf x}_i^T\beta\\
\end{eqnarray*}
左辺は\(p_i\)を\(1-p_i\)で割って対数をとったものになっています。\(p_i\)を成功の確率と解釈すれば、\(1-p_i\)は失敗の確率と捉えることができます。
この\(\frac{p_i}{1-p_i}\)はオッズと呼ばれます。オッズは結果の解釈で重要になるので後で改めて説明します。
また、オッズの対数をとるこの変換をロジット変換と呼び、\(logit(p_i)\)とも表したりします。
この変換によって、回帰分析っぽくなりました。さて、ここから\(\beta\)の推定に入っていきます。

\(\beta\)の推定方法

ロジット変換によって回帰分析っぽい式になりました。
ロジスティック回帰では\(\beta\)の推定方法は重み付き最小二乗法と最尤法の二種類があります。

重み付き最小二乗法

最小二乗法によって\(\beta\)の推定を行いたいのですが、最小二乗法を用いる時によいとされるのは目的変数の条件付き分布がサンプルに対して等分散の正規分布に従うと考えられる時です。ここで、\(logit(p_i)\)の分布を考えてみましょう。
まず、得られているデータから\(p_i\)を作るため\(p_i=\frac{y_i}{m_i}\)とします。\(y_i\)は二項分布に従うと考えているため、期待値と分散は次の様になります。
\begin{eqnarray*}
E[y_i]&=&m_ip_i\\
V[y_i]&=&m_ip_i(1-p_i)\\
\end{eqnarray*}
次に、\(logit(p_i)=log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)=log\left(\frac{y_i}{m_i-y_i}\right)\)の分散をデルタ法で近似します。
\begin{eqnarray*}
log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)\approx \frac{1}{m_ip_i(1-p_i)}
\end{eqnarray*}
二項分布と正規分布の性質より\(m_ip_i(1-p_i)\)が十分大きい時、正規分布に従うと見なせます。
そして、重み\(\sqrt{w_i}=\sqrt{m_ip_i(1-p_i)}\)を\(logit(p_i)\)にかけることで、等分散性を確保してから最小二乗法を行います。
重みを付けているため重み付き最小二乗法と呼びます。

最尤法

重み付き最小二乗法は複雑な計算も必要なく手計算でも可能ですが、一つ大きな問題があります。それは、\(m_i=1\)である時の二値データでは解析できないことです。無理やり解析しても結果は不安定なものになります。そこで、現在ではコンピュータの発展により最尤法による推定が主流です。
目的変数は二項分布に従うというところから、尤度関数を導きます。
同時確率関数は
\begin{eqnarray*}
\displaystyle \prod_{ i = 0 }^n \binom{ m_i }{ y_i }p_i^{y_i}(1-p_i)^{m_i-y_i}&=&exp\left[\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } {y_i}log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)+{m_i}log\left(1-p_i\right)+log\binom{ m_i }{ y_i }\right]\\
\end{eqnarray*}
となるので、対数尤度関数は
\begin{eqnarray*}
l({\bf p};{\bf y})&=&\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } {y_i}log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)+{m_i}log\left(1-p_i\right)+log\binom{ m_i }{ y_i }\\
\end{eqnarray*}
ここから、\(p_i\)を\({\bf x}_i^T\beta\)の式の方で書き直して、パラメータを\(\beta\)のみにします。
そして、微分することで\(\beta\)を推定します。
この計算は式で綺麗に求めるのは難しいためニュートン法などの数値計算方法を用いる必要があります。

結果の解釈

得られた\(\beta\)をどの様に解釈すれば良いでしょうか。
線形回帰であれば、偏回帰係数は他の変数が一定である基でその変数を1単位増加させた時に目的変数へ与える影響を表していました。しかし、ロジスティック回帰の場合では、\(\beta\)の大きさがロジスティック関数で変換されるので、よく分かりません。そこで、オッズを使って解釈します。説明変数が3個のモデルで左辺をオッズにした式を下に示します。
\begin{eqnarray*}
\frac{p_i}{1-p_i}&=&exp\left(\beta_0+\beta_1x_i1+\beta_2x_i2+\beta_3x_i3\right)\\
\end{eqnarray*}
ここで、変数1が1単位増えた時の式は次の様になります。
\begin{eqnarray*}
\frac{p_i^*}{1-p_i^*}&=&exp\left(\beta_0+\beta_1(x_i1+1)+\beta_2x_i2+\beta_3x_i3\right)\\
&=&exp\left(\beta_1\right)exp\left(\beta_0+\beta_1x_i1+\beta_2x_i2+\beta_3x_i3\right)\\
\end{eqnarray*}
すると、変数1が1単位増える前の式との関係は次の様になります。
\begin{eqnarray*}
\frac{p_i^*}{1-p_i^*}&=&exp\left(\beta_1\right)\frac{p_i}{1-p_i}\\
\end{eqnarray*}
すなわち、「変数1が1単位増えるとオッズ比が\(exp(\beta)\)倍になる。」という解釈ができます。