統計的検定

統計的検定とは?具体例と種類について見ていこう!

アカデミックの世界でもビジネスの世界でも、ある事象に対して仮説を検証する時には必ず統計的検定を行います。

統計的検定を行わず、数値をただ比較して差がありそうだねと結論付けてしまうのは、あまりにも安直。

そんな統計学の中で非常に基礎でありながら重要な統計的検定について説明していきたいと思います。

統計的検定は、統計学を学ぶ上での基礎のキなんだ!是非マスターしよう!

統計的検定ってなに?

ウマたん
ウマたん
統計的検定ってなに?
ロボたん
ロボたん
統計的検定とは母集団から観測された標本に基づいて母数に関する帰無仮説を棄却できるかを客観的に判定する手続きのことだよ。
ウマたん
ウマたん
うーん、難しそうだなあ
ロボたん
ロボたん
難しい言葉がたくさん出てきてしまったね。具体例を交えて考えてみようか。

統計的検定は統計学を初めて学ぶ人にも早いうちに出てくる分野です。

統計学の中では基礎ですが、非常に深くて重要なテーマです。

ここでは、”一般的な”検定であるネイマン流の頻度論に基づく検定についてなるべく分かりやすく紹介します。

細かな検定の種類や計算方法ではなく、検定や推定がどのような考えなのかを分かりやすく伝えることを目的にしています。

統計的検定はどんなときに使う?

統計的検定を用いる状況として、例えばアイス製造会社を考えてみましょう。

この会社が製造しているバニラアイスの内容量は200mlに設定しているはずです。
ある日、社長が「200mlになっていない気がする」と生産管理の担当者に伝えました。そこで、生産管理の担当者であるAさんとBさんは本当に200mlになっているかどうかを確かめることにしました。そして、製造した製品の中から無作為に10個ほど選んで内容量を測ったところ次のようになりました。

$$205,198,197,208,204,202,207,199,207,203 (ml)$$

このデータから平均値を計算すると\(\bar{x}=203\)でした。さて、設定は200mlからずれているのでしょうか。

ウマたん
ウマたん
うーん、3mlも違うなら200mlからずれていると考えていいんじゃないの?
ロボたん
ロボたん
そうかな?一つ一つの内容量を見ると197mlや208mlのものまであるよ。そう思うと3mlは誤差と言えるんじゃないかな?
ウマたん
ウマたん
じゃあ、200mlからずれているの?
ロボたん
ロボたん
どうだろうね?本当は3mlは大きな違いかもしれないね?
ウマたん
ウマたん
えー!どっちなの?
ロボたん
ロボたん
そう。結局これだけじゃ合理的な判断は下せないね。そのために統計的検定があるんだ!

そう、統計的検定はこのような人によって判断が変わりそうな微妙な事象を数理的に判断できる便利な手法なのです。

統計的検定に関する用語

ここで、具体例と照らし合わせて用語を整理します。

ロボたん
ロボたん
統計的検定を学ぶ上では、とっつきにくい用語がいくつか出てくるのでまとめておこう!

・母集団…ある傾向をもつアイスの集まり。(神にしか分からない)
・母数…母集団の特徴を定める傾向のこと。例えば、母平均や母分散。(神にしか分からない)
・標本…母集団から得られた観測値群のこと。今の場合、選んだアイス10個のこと。
・帰無仮説…何も違いがないという仮説。今の場合、「アイスの平均の設定が200mlでずれていない」ということ。
・対立仮説…何か違いがあるという仮説。今の場合、「アイスの平均の設定が200mlからずれている」ということ。
・棄却…帰無仮説を否定すること

統計的検定の流れ

では、実際に統計的検定の流れを説明して行きます。

検定では確率分布という道具を使います。今回の場合はアイスの平均に関する検定なので正規分布を用います。

また、簡単のために母分散は\(4^2\)と知っていることにしておきます。そうすると母集団は\(N(\mu,4^2)\)に従います。そして、問題は\(\mu\)が200であるのかどうなのかということです。

仮に、\(\mu=200\)であるとしましょう。平均\(\bar{x}=203\)を正規化した\(u\)は\(N(0,1^2)\)に従います。

このとき、正規分布の確率密度関数から分布の端っこの面積が5%になる点はどこかを計算すると-1.960と1.960という値になります。

これはつまり\(N(0,1^2)\)に従うデータが「-1.960よりも小さい」あるいは「1.960よりも大きい」可能性が5%くらいしかあり得ないということを意味します。

さて、いま計算して\(|u|\)を求めると2.372という値になりました。この値は1.960より大きいです。どう思いますか?

ウマたん
ウマたん
うーん、たまたま5%くらいしかあり得ないデータだったってことかな?
ロボたん
ロボたん
確かにその可能性もあるね。でも、もっと自然な捉え方があるよ。それは、仮定が間違っていたと考えるんだ。この問題での仮定はなんだったけ?
ウマたん
ウマたん
えーと、\(\mu=200\)と置いたことかな?
ロボたん
ロボたん
そうだね、\(\mu=200\)と考えて、つまり、データが\(N(200,4^2)\)に従うと考えて計算してみたね。その結果、計算するとたった5%も起こらないようなことになってしまったんだ。ということは、\(\mu=200\)つまり帰無仮説は間違っていたんじゃないの?というのが統計的検定の論理なんだ。この5%というのは有意水準と呼ばれるよ。
ウマたん
ウマたん
そうか!仮説があっていると考えて話を進めたら、確率的に不自然になったから仮説が間違っていたと考える方が自然ということか!
ロボたん
ロボたん
そういうことだね。帰無仮説が間違っていたということを「帰無仮説を棄却する」というよ。
ウマたん
ウマたん
じゃあ、もし\(|u|\)が1.960より小さい場合は\(\mu=200\)つまり帰無仮説が正しいということか!
ロボたん
ロボたん
実はそうは言い切れないんだ。\(|u|\)が1.960より小さいというのは「帰無仮説を棄却出来ない」くらいの消極的な表現にとどめておく必要があるんだ。この辺はまた別に詳しく説明していくよ。

確率分布に正規分布を用いましたが、正規分布以外を用いることもたくさんあります。

どんな分布を使うかはデータの種類や形式、検定したい母数の種類によって変わります。しかし、検定の基本的な流れはどんな場合でも変わりません。

今回の説明が統計的検定というものの理解の助けになれば幸いです。

統計的検定の種類

この記事では単純な仮説検定について見てきましたが、統計的検定にはいくつかの種類があります。

それぞれの特徴について見ていきましょう!

押さえておきたい統計的検定の種類は以下の3つ!F検定を使う場面はあまりないかも!

・t検定
・カイ二乗検定
・F検定

t検定

t検定は、母平均の検定に用いられます。つまり先ほどの例はt検定の一種。

しかしt検定とは言えどもいくつかの種類があるのです。ここで紹介したt検定は最も一般的な統計的検定であり、1標本のt検定と呼ばれます。

1つのサンプルデータが元々想定されている母平均と比較してズレているかを検定しています。

これ以外にも2つの標本の母平均を比較する2標本のt検定も存在しますし、回帰分析の回帰係数にもt検定が用いられているのです。

t検定について詳しくは以下の記事にまとめています!

t検定とは?使い方とRでの実装! こんにちは! 消費財メーカーでデジタルマーケとかデータサイエンスみたいなことをやっているウマたん(@statistics1...

カイ二乗検定

カイ二乗検定は、ビジネスシーンで使われることの多い検定手法になります。

カイ二乗検定では一般的に分布の乖離度を測るものでありABテストにて用いられることが多いです。

例えば、メールを送り以下のような結果が得られたとします。その時メールABの開封率には有意差がありますでしょうか?

送信数 開封数 開封率
メールA 100000 12000 12%
メールB 200 30 15%

開封率だけ見るとありそうですが、どうでしょう?それを数理的に証明するのがカイ二乗検定なのです。

実際この場合、数理的に有意差があるとは言えません。

カイ二乗検定については以下の記事で詳しくまとめています。

カイ二乗検定とは?使い方とRでの実装! こんにちは! 消費財メーカーでデジタルマーケとかデータサイエンスみたいなことをやっているウマたん(@statistics1...

ちなみにABテストをカイ二乗検定で行う有意差アプリケーションを作る方法を以下の記事にまとめていますのでよければご覧ください!

PythonのFlaskで簡単なWebアプリケーションを作ってみよう!こんにちは!デジタルマーケターのウマたん(@statistics1012)です! WebブラウザでアプリケーションのことをWebア...

F検定

F検定は、t検定やカイ二乗検定と比較すると登場する場面が少ないのですが、t検定を行う前手の検定として行う場合があります。

F検定では、母分散の検定を行います。

t検定では、母分散が等しいと仮定して検定を行うためF検定を行い母分散が果たして正しいのか確認する場合があります。

統計的検定 まとめ

統計的検定についてまとめてきました!

基本的には、t検定とカイ二乗検定さえ押さえておけば問題ありません。

簡単にExcel、R、Pythonで実装も出来ますし、ネットで調べれば数値を入力するだけで解答してくれる便利なツールもあります。

是非使ってみてください。

統計的検定においては以下の記事がオススメです。是非ご覧ください!

統計を最初から勉強する上で持っておきたい良書です。検定について詳しく載っています。

統計的検定をふまえた上でさらに統計学について学びたいという方は以下の記事をご覧ください。

統計学を学ぶステップをまとめています!

統計学入門に必要な知識と勉強方法を簡単に学ぼう!統計学はビジネスにも学問にも非常に役立ちます。 とは言え、統計学は小難しいイメージがどうしても付きまとうモノ。 ...